$(a+b)^6$ を展開したとき、項は何個できるか。

## 問題19

1. 問題の内容

$(a+b)^6$ を展開したとき、項は何個できるか。

2. 解き方の手順

二項定理より、$(a+b)^6$を展開すると、一般項は${}_6 C_r a^{6-r}b^r$となります。ここで、$r$は0から6までの整数を取ります。

$r$の値が異なれば、項は異なるものとなるので、項の数は$r$の取りうる値の数に等しくなります。

$r$は0から6までの7個の値を取ることができるので、項の数は7個です。

3. 最終的な答え

7個

## 問題20

1. 問題の内容

A, Bの2人がじゃんけんをして、どちらかが4回先に勝ったところで止めるゲームを考える。引き分けはないものとすると、勝負の分かれ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

どちらかが4回勝った時点でゲームが終わるので、最大で7回じゃんけんをすることになります。

* Aが4回勝って終わる場合

* 3回目までにAが3勝している必要があります。つまり、3回目までにAが3勝Bが0勝、Aが3勝Bが1勝、Aが3勝Bが2勝の場合を考えます。

* Aが4回目で勝つのは確定なので、4回目までにAが4勝、Bが0勝、1勝、2勝、3勝の場合を考えます。

* Aが4回目で勝つ場合を固定して考えます。

* 3回目までにAが3勝0敗の場合：${}_3 C_3 = 1$通り

* 3回目までにAが3勝1敗の場合：${}_4 C_3 = 4$通り

* 3回目までにAが3勝2敗の場合：${}_5 C_3 = 10$通り

* つまり、Aが4勝して終わる場合は ${}_3C_3 + {}_4C_3 + {}_5C_3 = 1 + 4 + 10 = 35$通り

* Bが4回勝って終わる場合

* Aが4回勝って終わる場合と同様に考えます。

* 3回目までにBが3勝0敗の場合：${}_3 C_3 = 1$通り

* 3回目までにBが3勝1敗の場合：${}_4 C_3 = 4$通り

* 3回目までにBが3勝2敗の場合：${}_5 C_3 = 10$通り

* つまり、Bが4勝して終わる場合は ${}_3C_3 + {}_4C_3 + {}_5C_3 = 1 + 4 + 10 = 35$通り

したがって、勝負の分かれ方は$35 + 35 = 70$通りです。

3. 最終的な答え

70通り