2次方程式 $x^2 - ax + 2a^2 - 8 = 0$ が $x=3$ を解に持つような定数 $a$ の値を求め、そのときの他の解を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - ax + 2a^2 - 8 = 0$ が $x=3$ を解に持つような定数 $a$ の値を求め、そのときの他の解を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x=3$ を与えられた2次方程式に代入し、$a$ に関する方程式を得る。

$$3^2 - a(3) + 2a^2 - 8 = 0$$

$$9 - 3a + 2a^2 - 8 = 0$$

$$2a^2 - 3a + 1 = 0$$

この $a$ に関する2次方程式を解く。

$$(2a - 1)(a - 1) = 0$$

よって、$a = \frac{1}{2}$ または $a = 1$。

ただし、$a$ の値は2つ存在し、$\frac{1}{2} < 1$ であるから、$a = \frac{1}{2}$と $a=1$となる。

次に、$a = \frac{1}{2}$ のとき、元の2次方程式は、

$$x^2 - \frac{1}{2}x + 2(\frac{1}{2})^2 - 8 = 0$$

$$x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} - 8 = 0$$

$$x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{15}{2} = 0$$

$$2x^2 - x - 15 = 0$$

$$(2x + 5)(x - 3) = 0$$

よって、$x = 3$ または $x = -\frac{5}{2}$。

$x=3$が解であるので、もう一つの解は$x = -\frac{5}{2}$。

次に、$a = 1$ のとき、元の2次方程式は、

$$x^2 - x + 2(1)^2 - 8 = 0$$

$$x^2 - x - 6 = 0$$

$$(x - 3)(x + 2) = 0$$

よって、$x = 3$ または $x = -2$。

$x=3$が解であるので、もう一つの解は$x = -2$。

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{2}, 1$ ただし、$\frac{1}{2} < 1$ とする。

(2) $a = \frac{1}{2}$ のとき、他の解は $x = -\frac{5}{2}$

$a = 1$ のとき、他の解は $x = -2$