次の方程式を解く問題です。 $(x-1)(x-2)(x-3) = 4 \cdot 3 \cdot 2$

1. 問題の内容

次の方程式を解く問題です。

$(x-1)(x-2)(x-3) = 4 \cdot 3 \cdot 2$

2. 解き方の手順

まず、右辺を計算します。

$4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$

したがって、方程式は

$(x-1)(x-2)(x-3) = 24$

となります。

次に、左辺を展開します。

$(x-1)(x-2)(x-3) = (x-1)(x^2 - 5x + 6) = x^3 - 5x^2 + 6x - x^2 + 5x - 6 = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$

したがって、方程式は

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 24$

となります。

方程式を整理すると、

$x^3 - 6x^2 + 11x - 30 = 0$

となります。

この3次方程式を解きます。

$x = 5$を代入すると、

$5^3 - 6(5^2) + 11(5) - 30 = 125 - 150 + 55 - 30 = 0$

したがって、$x = 5$は解の一つです。

$x-5$を因数に持つので、組立除法を用いて、

$x^3 - 6x^2 + 11x - 30 = (x-5)(x^2 - x + 6) = 0$

となります。

$x^2 - x + 6 = 0$を解の公式を用いて解きます。

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 24}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-23}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{23}}{2}$

3. 最終的な答え

$x = 5, \frac{1 + i\sqrt{23}}{2}, \frac{1 - i\sqrt{23}}{2}$