与えられた式 $x^3 + ax - 1 = (x^2 - bx)(x+2) + 6x + c$ が恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^3 + ax - 1 = (x^2 - bx)(x+2) + 6x + c$ が恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、右辺を展開します。

\begin{align*}

(x^2 - bx)(x+2) + 6x + c &= x^3 + 2x^2 - bx^2 - 2bx + 6x + c \\

&= x^3 + (2-b)x^2 + (6-2b)x + c

\end{align*}

この結果を元の式に代入すると、

$$x^3 + ax - 1 = x^3 + (2-b)x^2 + (6-2b)x + c$$

この式が $x$ についての恒等式となるためには、両辺の各次数の係数が一致する必要があります。

したがって、次の連立方程式が成り立ちます。

\begin{align}

2-b &= 0 \\

a &= 6-2b \\

-1 &= c

\end{align}

最初の式 $2-b = 0$ より、$b = 2$ が得られます。

次に、$a = 6 - 2b$ に $b=2$ を代入すると、$a = 6 - 2(2) = 6 - 4 = 2$ となります。

最後に、$c = -1$ です。

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = 2$, $c = -1$