与えられた式 $2a^2 - 4ab + 2b^2 - 3a + 3b - 2$ を因数分解しなさい。

1. 問題の内容

与えられた式 $2a^2 - 4ab + 2b^2 - 3a + 3b - 2$ を因数分解しなさい。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を$a$について整理します。

$2a^2 - (4b+3)a + (2b^2 + 3b - 2)$

次に、$2b^2 + 3b - 2$を因数分解します。

$2b^2 + 3b - 2 = (2b-1)(b+2)$

与えられた式は以下のようになります。

$2a^2 - (4b+3)a + (2b-1)(b+2)$

この式を因数分解するため、$(pa + q)(ra + s)$の形を考えます。$pr = 2$, $qs = (2b-1)(b+2)$, $ps + qr = -(4b+3)$となる$p, q, r, s$を見つけます。

$p = 2, r = 1$とすると、$2s + q = -(4b+3)$となります。

$q = -(2b-1), s = -(b+2)$を試すと、

$2s + q = -2(b+2) - (2b-1) = -2b - 4 - 2b + 1 = -4b - 3$となり、条件を満たします。

よって、因数分解は次のようになります。

$[2a - (2b-1)][a - (b+2)] = (2a - 2b + 1)(a - b - 2)$

3. 最終的な答え

$(2a - 2b + 1)(a - b - 2)$