与えられた等式 $4x^2 + 5x + 3 = a(x+1)(x-1) + b(x+2)(x-1) + c(x+1)(x-2)$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式 $4x^2 + 5x + 3 = a(x+1)(x-1) + b(x+2)(x-1) + c(x+1)(x-2)$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた等式が恒等式であることから、$x$ にどのような値を代入しても等式が成り立ちます。

そこで、$x$ に適切な値を代入して、$a, b, c$ に関する連立方程式を作り、それを解くことで $a, b, c$ の値を求めます。

まず、$x = -1$ を代入すると、

$4(-1)^2 + 5(-1) + 3 = a(-1+1)(-1-1) + b(-1+2)(-1-1) + c(-1+1)(-1-2)$

$4 - 5 + 3 = 0 + b(1)(-2) + 0$

$2 = -2b$

$b = -1$

次に、$x = 1$ を代入すると、

$4(1)^2 + 5(1) + 3 = a(1+1)(1-1) + b(1+2)(1-1) + c(1+1)(1-2)$

$4 + 5 + 3 = 0 + 0 + c(2)(-1)$

$12 = -2c$

$c = -6$

最後に、$x = -2$ を代入すると、

$4(-2)^2 + 5(-2) + 3 = a(-2+1)(-2-1) + b(-2+2)(-2-1) + c(-2+1)(-2-2)$

$16 - 10 + 3 = a(-1)(-3) + 0 + c(-1)(-4)$

$9 = 3a + 4c$

$9 = 3a + 4(-6)$

$9 = 3a - 24$

$3a = 33$

$a = 11$

3. 最終的な答え

$a = 11, b = -1, c = -6$