与えられた式 $x^2 - xy - 2y^2 - x - 7y - 6$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - xy - 2y^2 - x - 7y - 6$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $x$ について整理します。

$x^2 - (y+1)x - (2y^2 + 7y + 6)$

次に、$2y^2 + 7y + 6$ を因数分解します。

$2y^2 + 7y + 6 = (2y+3)(y+2)$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$x^2 - (y+1)x - (2y+3)(y+2)$

これを因数分解することを考えます。

$(x+a)(x+b)$ の形になると仮定すると、$a+b = -(y+1)$ かつ $ab = -(2y+3)(y+2)$ となる $a, b$ を探します。

$a = y+2$, $b = -2y-3$ とすると、

$a+b = y+2 - 2y - 3 = -y - 1 = -(y+1)$

$ab = (y+2)(-2y-3) = -(2y+3)(y+2)$

となり、条件を満たします。

よって、与えられた式は以下のように因数分解できます。

$x^2 - (y+1)x - (2y+3)(y+2) = (x+y+2)(x-2y-3)$

3. 最終的な答え

$(x+y+2)(x-2y-3)$