与えられた式 $(x^2+x+1)(x^2-x+1)(x^4-x^2+1)$ を展開せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x^2+x+1)(x^2-x+1)(x^4-x^2+1)$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x^2+x+1)(x^2-x+1)$ を計算します。

これは、和と差の積の形 $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ を利用できます。

ここで、$A = x^2 + 1$、$B = x$ とすると、

$(x^2+x+1)(x^2-x+1) = ((x^2+1)+x)((x^2+1)-x) = (x^2+1)^2 - x^2$

$= (x^4 + 2x^2 + 1) - x^2 = x^4 + x^2 + 1$

次に、$(x^4 + x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)$ を計算します。

再び和と差の積の形を利用できます。

ここで、$A = x^4 + 1$、$B = x^2$ とすると、

$(x^4 + x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1) = ((x^4+1)+x^2)((x^4+1)-x^2) = (x^4+1)^2 - (x^2)^2$

$= (x^8 + 2x^4 + 1) - x^4 = x^8 + x^4 + 1$

3. 最終的な答え

$x^8 + x^4 + 1$