$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{4}$ の条件の下で $\tan \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{4}$ の条件の下で $\tan \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式 $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{4}$ の両辺を2乗します。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{1}{4})^2$

$\sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{1}{16}$

三角関数の基本公式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を使うと、

$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{16}$

$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{16} - 1 = -\frac{15}{16}$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{15}{32}$

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{4}$ と $\sin \theta \cos \theta = -\frac{15}{32}$ が得られました。

ここで、$t = \tan \theta$ とおくと、$\sin \theta = \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}$ と $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$ と表せます。

これらを $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{4}$ に代入すると、

$\frac{t}{\sqrt{1+t^2}} + \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} = \frac{1}{4}$

$\frac{t+1}{\sqrt{1+t^2}} = \frac{1}{4}$

両辺を2乗すると、

$\frac{(t+1)^2}{1+t^2} = \frac{1}{16}$

$16(t^2 + 2t + 1) = 1 + t^2$

$16t^2 + 32t + 16 = 1 + t^2$

$15t^2 + 32t + 15 = 0$

この二次方程式を解きます。

$t = \frac{-32 \pm \sqrt{32^2 - 4 \cdot 15 \cdot 15}}{2 \cdot 15} = \frac{-32 \pm \sqrt{1024 - 900}}{30} = \frac{-32 \pm \sqrt{124}}{30} = \frac{-32 \pm 2\sqrt{31}}{30} = \frac{-16 \pm \sqrt{31}}{15}$

$t = \frac{-16 \pm \sqrt{31}}{15}$

ここで、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ より、$\sin \theta \ge 0$ です。

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{4}$ より、$\cos \theta = \frac{1}{4} - \sin \theta$ なので、

$\sin \theta \cos \theta = \sin \theta (\frac{1}{4} - \sin \theta) = -\frac{15}{32}$

$\frac{1}{4}\sin \theta - \sin^2 \theta = -\frac{15}{32}$

$8\sin \theta - 32\sin^2 \theta = -15$

$32\sin^2 \theta - 8\sin \theta - 15 = 0$

$\sin \theta = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 32 \cdot (-15)}}{2 \cdot 32} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 1920}}{64} = \frac{8 \pm \sqrt{1984}}{64} = \frac{8 \pm 8\sqrt{31}}{64} = \frac{1 \pm \sqrt{31}}{8}$

$\sin \theta > 0$ なので、$\sin \theta = \frac{1 + \sqrt{31}}{8}$

$\cos \theta = \frac{1}{4} - \frac{1+\sqrt{31}}{8} = \frac{2 - 1 - \sqrt{31}}{8} = \frac{1 - \sqrt{31}}{8}$

よって、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{1+\sqrt{31}}{8}}{\frac{1-\sqrt{31}}{8}} = \frac{1 + \sqrt{31}}{1 - \sqrt{31}} = \frac{(1+\sqrt{31})(1+\sqrt{31})}{(1-\sqrt{31})(1+\sqrt{31})} = \frac{1 + 2\sqrt{31} + 31}{1 - 31} = \frac{32 + 2\sqrt{31}}{-30} = \frac{16 + \sqrt{31}}{-15} = \frac{-16 - \sqrt{31}}{15}$

3. 最終的な答え

$\tan \theta = \frac{-16 - \sqrt{31}}{15}$