3桁の自然数があり、百の位と一の位の数字が等しく、すべての位の数字を足すと20になる。一の位の数字はそのままにして、百の位と十の位の数字を入れ替えてできる自然数は、元の自然数よりも180大きい。 (1) 元の自然数の百の位と一の位の数字を $x$, 十の位の数字を $y$ として、連立方程式を作れ。 (2) 元の自然数を求めよ。

1. 問題の内容

3桁の自然数があり、百の位と一の位の数字が等しく、すべての位の数字を足すと20になる。一の位の数字はそのままにして、百の位と十の位の数字を入れ替えてできる自然数は、元の自然数よりも180大きい。

(1) 元の自然数の百の位と一の位の数字を $x$, 十の位の数字を $y$ として、連立方程式を作れ。

(2) 元の自然数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

元の自然数は $100x + 10y + x = 101x + 10y$ と表せる。

すべての位の数を足すと20になるので、

$x + y + x = 20$

$2x + y = 20$ ...(1)

百の位と十の位を入れ替えた自然数は $100y + 10x + x = 100y + 11x$ と表せる。

入れ替えた自然数は元の自然数より180大きいので、

$100y + 11x = 101x + 10y + 180$

$90y - 90x = 180$

$y - x = 2$ ...(2)

(1)と(2)を連立方程式として書くと、

$2x + y = 20$

$y - x = 2$

(2)

(1)の連立方程式を解く。

(2)より $y = x + 2$

これを(1)に代入すると、

$2x + (x + 2) = 20$

$3x + 2 = 20$

$3x = 18$

$x = 6$

$y = x + 2 = 6 + 2 = 8$

元の自然数は $101x + 10y = 101(6) + 10(8) = 606 + 80 = 686$

3. 最終的な答え

(1)

$2x + y = 20$

$y - x = 2$

(2) 686