与えられた行列について、逆行列を求める問題（問題4）と、行列式の値を求める問題（問題5）、そして回転行列を求める問題（問題6）です。

1. 問題の内容

与えられた行列について、逆行列を求める問題（問題4）と、行列式の値を求める問題（問題5）、そして回転行列を求める問題（問題6）です。

2. 解き方の手順

問題4: 逆行列を求める問題

(i) $A = \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$の逆行列を求める。

まず、行列式を計算する。

$\det(A) = (7)(3) - (-4)(-5) = 21 - 20 = 1$

逆行列は

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}$

(ii) $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}$の逆行列を求める。

まず、行列式を計算する。

$\det(B) = (3)(6) - (1)(1) = 18 - 1 = 17$

逆行列は

$B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{17} \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

(iii) $C = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 5 & 2 & 1 \end{pmatrix}$の逆行列を求める。

まず、行列式を計算する。

$\det(C) = 4(0-4) - 1(1-10) + 3(2-0) = -16 + 9 + 6 = -1$

余因子行列を求める。

$C_{11} = -4, C_{12} = 9, C_{13} = 2$

$C_{21} = 5, C_{22} = -11, C_{23} = -3$

$C_{31} = 2, C_{32} = -5, C_{33} = -1$

余因子行列は

$C^* = \begin{pmatrix} -4 & 9 & 2 \\ 5 & -11 & -3 \\ 2 & -5 & -1 \end{pmatrix}$

転置行列は

$(C^*)^T = \begin{pmatrix} -4 & 5 & 2 \\ 9 & -11 & -5 \\ 2 & -3 & -1 \end{pmatrix}$

逆行列は

$C^{-1} = \frac{1}{\det(C)} (C^*)^T = -1 \begin{pmatrix} -4 & 5 & 2 \\ 9 & -11 & -5 \\ 2 & -3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -5 & -2 \\ -9 & 11 & 5 \\ -2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

問題5: 行列式の値を求める問題

(i) $\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 9 & 8 \end{vmatrix} = (3)(8) - (5)(9) = 24 - 45 = -21$

(ii) $\begin{vmatrix} 0 & 3 & 7 \\ 5 & 8 & 1 \\ 4 & 2 & 6 \end{vmatrix} = 0(48-2) - 3(30-4) + 7(10-32) = 0 - 3(26) + 7(-22) = -78 - 154 = -232$

問題6: 回転行列を求める問題

xy平面の原点を中心とする角度$\theta$の回転行列は、

$\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

$\theta = -\frac{4}{3}\pi$ の場合、

$\cos(-\frac{4}{3}\pi) = \cos(\frac{4}{3}\pi) = -\frac{1}{2}$

$\sin(-\frac{4}{3}\pi) = -\sin(\frac{4}{3}\pi) = -(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

回転行列は

$\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

問題4:

(i) $\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}$

(ii) $\frac{1}{17} \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

(iii) $\begin{pmatrix} 4 & -5 & -2 \\ -9 & 11 & 5 \\ -2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

問題5:

(i) -21

(ii) -232

問題6:

$\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$