等比数列 $\{a_n\}$ において、第3項が $a_3=20$、第7項が $a_7=\frac{5}{4}$ であるとき、公比 $r$ を求める。ただし、$r > 0$ とする。

1. 問題の内容

等比数列 $\{a_n\}$ において、第3項が $a_3=20$、第7項が $a_7=\frac{5}{4}$ であるとき、公比 $r$ を求める。ただし、$r > 0$ とする。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ と表せる。

与えられた条件から、$a_3 = a_1 r^{3-1} = a_1 r^2 = 20$ と $a_7 = a_1 r^{7-1} = a_1 r^6 = \frac{5}{4}$ が成り立つ。

これらの2つの式から $a_1$ を消去して $r$ を求める。

$a_1$ を消去するために、2つの式を割る：

$\frac{a_7}{a_3} = \frac{a_1 r^6}{a_1 r^2} = \frac{\frac{5}{4}}{20}$

$r^4 = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{20} = \frac{5}{80} = \frac{1}{16}$

$r^4 = \frac{1}{16}$ を解く。 $r > 0$ なので、

$r = \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \frac{1}{\sqrt[4]{16}} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$r = \frac{1}{2}$