2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 4a + 1$ の最小値を $a$ の関数 $g(a)$ とするとき、$g(a)$ の最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 4a + 1$ の最小値を $a$ の関数 $g(a)$ とするとき、$g(a)$ の最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成して、最小値を求めます。

$f(x) = x^2 - 2ax + 4a + 1$

$f(x) = (x - a)^2 - a^2 + 4a + 1$

$f(x)$ は $x=a$ のとき最小値 $-a^2 + 4a + 1$ をとります。

したがって、$g(a) = -a^2 + 4a + 1$ です。

次に、$g(a)$ の最大値を求めます。$g(a)$ も $a$ の2次関数なので、平方完成をします。

$g(a) = -a^2 + 4a + 1 = -(a^2 - 4a) + 1 = -(a^2 - 4a + 4) + 4 + 1 = -(a-2)^2 + 5$

$g(a)$ は $a=2$ のとき最大値 $5$ をとります。

3. 最終的な答え

$g(a)$ の最大値は $5$ です。