数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n$ ($n=1,2,3,\dots$) を満たす。また、数列 $\{b_n\}$ が $b_1 = 1$, $b_{n+1} = b_n + 2a_n - 1$ ($n=1,2,3,\dots$) を満たす。 (1) $a_n$ を $n$ を用いて表せ。 (2) $b_n$ を $n$ を用いて表せ。 (3) $S_n = \sum_{k=1}^n k(b_k + k)$ とする。$S_n$ を $n$ を用いて表せ。また、$S_n \ge 1000$ となる最小の自然数 $n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n$ ($n=1,2,3,\dots$) を満たす。また、数列 $\{b_n\}$ が $b_1 = 1$, $b_{n+1} = b_n + 2a_n - 1$ ($n=1,2,3,\dots$) を満たす。

(1) $a_n$ を $n$ を用いて表せ。

(2) $b_n$ を $n$ を用いて表せ。

(3) $S_n = \sum_{k=1}^n k(b_k + k)$ とする。$S_n$ を $n$ を用いて表せ。また、$S_n \ge 1000$ となる最小の自然数 $n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{a_n\}$ について、$a_1 = 1$ であり、$a_{n+1} = 2a_n$ であるから、これは初項 1、公比 2 の等比数列である。したがって、

$a_n = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1}$

(2) 数列 $\{b_n\}$ について、$b_{n+1} = b_n + 2a_n - 1$ であるから、$b_{n+1} - b_n = 2a_n - 1 = 2 \cdot 2^{n-1} - 1 = 2^n - 1$ となる。

$n \ge 2$ のとき、

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (b_{k+1} - b_k) = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2^k - 1) = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k - \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$= 1 + \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2-1} - (n-1) = 1 + 2^n - 2 - (n-1) = 2^n - n$

$n=1$ のとき、$b_1 = 2^1 - 1 = 1$ であるから、$b_n = 2^n - n$ は $n=1$ でも成り立つ。

(3) $S_n = \sum_{k=1}^n k(b_k + k) = \sum_{k=1}^n k(2^k - k + k) = \sum_{k=1}^n k \cdot 2^k$

$T_n = \sum_{k=1}^n k \cdot 2^k = 1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + n \cdot 2^n$

$2T_n = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^4 + \dots + (n-1) \cdot 2^n + n \cdot 2^{n+1}$

$T_n - 2T_n = 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^n - n \cdot 2^{n+1}$

$-T_n = \frac{2(2^n - 1)}{2-1} - n \cdot 2^{n+1} = 2^{n+1} - 2 - n \cdot 2^{n+1} = (1-n)2^{n+1} - 2$

$T_n = (n-1)2^{n+1} + 2$

したがって、$S_n = (n-1)2^{n+1} + 2$

$S_n \ge 1000$ となる最小の自然数 $n$ を求める。

$(n-1)2^{n+1} + 2 \ge 1000$

$(n-1)2^{n+1} \ge 998$

$n=6$ のとき、$(6-1)2^{6+1} = 5 \cdot 2^7 = 5 \cdot 128 = 640$

$n=7$ のとき、$(7-1)2^{7+1} = 6 \cdot 2^8 = 6 \cdot 256 = 1536$

したがって、$n=7$ のとき、$S_n \ge 1000$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2^{n-1}$

(2) $b_n = 2^n - n$

(3) $S_n = (n-1)2^{n+1} + 2$, $n = 7$