$a$ を 0 でない実数の定数とし、$x$ の 3 次式 $f(x) = x^3 - (a+4)x^2 + (5a+4)x - 6a$ と、3 次方程式 $f(x) = 0$ がある。 (1) $f(x)$ を $x-2$ で割ったときの余りを求める。 (2) $a=1$ のとき、$f(x) = 0$ を解く。 (3) $f(x) = 0$ が虚数解をもつような $a$ の値の範囲を求める。 (4) 2 次方程式 $a^2x^2 - 5x + 1 = 0$ がある。$f(x) = 0$ の解の 1 つと、$a^2x^2 - 5x + 1 = 0$ の解の 1 つを用いて、2 つの数の組を作る。その 2 つの数の積が 1 となる組を作ることができるような $a$ の値をすべて求める。

1. 問題の内容

$a$ を 0 でない実数の定数とし、$x$ の 3 次式 $f(x) = x^3 - (a+4)x^2 + (5a+4)x - 6a$ と、3 次方程式 $f(x) = 0$ がある。

(1) $f(x)$ を $x-2$ で割ったときの余りを求める。

(2) $a=1$ のとき、$f(x) = 0$ を解く。

(3) $f(x) = 0$ が虚数解をもつような $a$ の値の範囲を求める。

(4) 2 次方程式 $a^2x^2 - 5x + 1 = 0$ がある。$f(x) = 0$ の解の 1 つと、$a^2x^2 - 5x + 1 = 0$ の解の 1 つを用いて、2 つの数の組を作る。その 2 つの数の積が 1 となる組を作ることができるような $a$ の値をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) 余りの定理より、$f(x)$ を $x-2$ で割ったときの余りは $f(2)$ である。

$f(2) = 2^3 - (a+4)2^2 + (5a+4)2 - 6a = 8 - 4a - 16 + 10a + 8 - 6a = 0$

(2) $a=1$ のとき、$f(x) = x^3 - 5x^2 + 9x - 6 = 0$ となる。

(1) より、$f(2) = 0$ なので、$x-2$ を因数にもつ。

実際に割り算を行うと、$f(x) = (x-2)(x^2 - 3x + 3) = 0$ となる。

よって、$x = 2$ または $x^2 - 3x + 3 = 0$ である。

$x^2 - 3x + 3 = 0$ を解くと、$x = \frac{3 \pm \sqrt{9-12}}{2} = \frac{3 \pm i\sqrt{3}}{2}$

したがって、$x = 2, \frac{3 \pm i\sqrt{3}}{2}$

(3) $f(x) = x^3 - (a+4)x^2 + (5a+4)x - 6a = x^3 - ax^2 - 4x^2 + 5ax + 4x - 6a = x^2(x-a) - 4x(x-a) + 4(x-a) +ax - 6a +ax^2-5ax + 2ax^2 - 4xa^2 = x^2(x-2)-ax^2 = x^2(x-2) - (a+4)x^2 + (5a+4)x -6a = (x-a)(x^2 - 4x + 6)$

$f(x) = (x-2)(x^2-(a+2)x+3a)$

$x=2$は実数解なので、$x^2 - (a+2)x + 3a = 0$ が虚数解をもつとき、$f(x) = 0$ は虚数解を持つ。

判別式 $D = (a+2)^2 - 4(3a) = a^2 + 4a + 4 - 12a = a^2 - 8a + 4 < 0$

$a = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 16}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3}$

よって、$4 - 2\sqrt{3} < a < 4 + 2\sqrt{3}$

(4) $f(x)=0$ の解は、$x=2$ または $x^2-(a+2)x + 3a=0$の解である。

$g(x) = a^2x^2 - 5x + 1 = 0$の解を考える。

$a^2 x^2 - 5x + 1 = 0 \implies x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4a^2}}{2a^2}$

2 つの数の積が 1 となる必要がある。

(i) $x_1 = 2$, $x_2$ を $g(x) = 0$ の解とするとき、$2x_2 = 1$ より $x_2 = \frac{1}{2}$

$a^2(\frac{1}{2})^2 - 5(\frac{1}{2}) + 1 = 0$

$\frac{a^2}{4} - \frac{5}{2} + 1 = 0$

$a^2 - 10 + 4 = 0$

$a^2 = 6$

$a = \pm \sqrt{6}$

(ii) $x_1$ が $x^2 - (a+2)x + 3a = 0$ の解、$x_2$ が $g(x) = 0$ の解であるとき、$x_1 x_2 = 1$

$g(x_2) = a^2x_2^2 - 5x_2 + 1 = 0$ より、$x_2 = \frac{1}{x_1}$ を代入する。

$a^2(\frac{1}{x_1})^2 - 5(\frac{1}{x_1}) + 1 = 0$

$a^2 - 5x_1 + x_1^2 = 0$

$x_1^2 - 5x_1 + a^2 = 0$

$x_1^2 - (a+2)x_1 + 3a = 0$

2 式の差をとると、

$(a-3)x_1 + a^2 - 3a = 0$

$(a-3)x_1 + a(a-3) = 0$

$(a-3)(x_1+a) = 0$

$a = 3$ または $x_1 = -a$

$a=3$ のとき、$x^2 - (3+2)x + 3(3) = 0$

$x^2 - 5x + 9 = 0$

$a^2 x^2 - 5x + 1 = 0$ より、$9x^2 - 5x + 1 = 0$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 36}}{18} = \frac{5 \pm i\sqrt{11}}{18}$

$x_1 x_2 = (\frac{5+i\sqrt{11}}{18})(\frac{5-i\sqrt{11}}{2(5+i\sqrt{11})})=1$

$x_1 = -a$ のとき、$(-a)^2 - (a+2)(-a) + 3a = 0$

$a^2 + a^2 + 2a + 3a = 0$

$2a^2 + 5a = 0$

$a(2a + 5) = 0$

$a = 0$ または $a = -\frac{5}{2}$

$a \neq 0$ より、$a = -\frac{5}{2}$

$f(x) = (x-(-\frac{5}{2}))(x^2-(-\frac{5}{2}+2)x+3(-\frac{5}{2})) = 0$

$\frac{25}{4} x^2 - 5x + 1 = 0$ の解の一つを$x_2$とすると、$x_1= \frac{5}{2}$と$x_2$の積が１であることから、$x_2 = \frac{2}{5}$

$\frac{25}{4} \frac{4}{25} - 5(\frac{2}{5})+1 = 1-2+1=0$ より、$x=\frac{2}{5}$は解である。

3. 最終的な答え

$a = \pm\sqrt{6}, 3, -\frac{5}{2}$