2次関数 $y = x^2 - 6x - 2$ の $a \le x \le a+1$ における最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 6x - 2$ の $a \le x \le a+1$ における最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 6x - 2 = (x - 3)^2 - 9 - 2 = (x - 3)^2 - 11$

したがって、この2次関数の頂点は $(3, -11)$ です。定義域 $a \le x \le a+1$ の範囲における最小値を考えます。場合分けをして考えます。

(1) $a+1 < 3$ のとき、すなわち $a < 2$ のとき、定義域 $a \le x \le a+1$ で関数は減少するので、最小値は $x = a+1$ のときにとります。

最小値は $y = (a+1)^2 - 6(a+1) - 2 = a^2 + 2a + 1 - 6a - 6 - 2 = a^2 - 4a - 7$

(2) $a \le 3 \le a+1$ のとき、すなわち $2 \le a \le 3$ のとき、定義域内に頂点があるので、最小値は $x = 3$ のときにとります。

最小値は $y = (3 - 3)^2 - 11 = -11$

(3) $a > 3$ のとき、定義域 $a \le x \le a+1$ で関数は増加するので、最小値は $x = a$ のときにとります。

最小値は $y = a^2 - 6a - 2$

まとめると、

- $a < 2$ のとき、最小値は $a^2 - 4a - 7$

- $2 \le a \le 3$ のとき、最小値は $-11$

- $a > 3$ のとき、最小値は $a^2 - 6a - 2$

3. 最終的な答え

最小値は以下の通りです。

$a < 2$ のとき: $a^2 - 4a - 7$

$2 \le a \le 3$ のとき: $-11$

$a > 3$ のとき: $a^2 - 6a - 2$