$a$ を定数とする。関数 $f(x) = -x^2 -ax + 2a^2$ ($0 \le x \le 1$) の最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。関数 $f(x) = -x^2 -ax + 2a^2$ ($0 \le x \le 1$) の最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -(x^2 + ax) + 2a^2$

$f(x) = -(x + \frac{a}{2})^2 + \frac{a^2}{4} + 2a^2$

$f(x) = -(x + \frac{a}{2})^2 + \frac{9}{4}a^2$

したがって、関数 $f(x)$ は $x = -\frac{a}{2}$ で最大値 $\frac{9}{4}a^2$ をとる上に凸の放物線です。定義域は $0 \le x \le 1$ であることに注意して、以下の3つの場合に分けて最大値を考えます。

(i) $-\frac{a}{2} < 0$ つまり $a > 0$ のとき：

このとき、定義域 $0 \le x \le 1$ において $f(x)$ は減少関数であるため、$x = 0$ で最大値をとります。

最大値は $f(0) = -0^2 - a(0) + 2a^2 = 2a^2$

(ii) $0 \le -\frac{a}{2} \le 1$ つまり $-2 \le a \le 0$ のとき：

このとき、頂点が定義域内にあるため、$x = -\frac{a}{2}$ で最大値をとります。

最大値は $f(-\frac{a}{2}) = \frac{9}{4}a^2$

(iii) $-\frac{a}{2} > 1$ つまり $a < -2$ のとき：

このとき、定義域 $0 \le x \le 1$ において $f(x)$ は増加関数であるため、$x = 1$ で最大値をとります。

最大値は $f(1) = -1^2 - a(1) + 2a^2 = 2a^2 - a - 1$

まとめると、

- $a > 0$ のとき、最大値は $2a^2$

- $-2 \le a \le 0$ のとき、最大値は $\frac{9}{4}a^2$

- $a < -2$ のとき、最大値は $2a^2 - a - 1$

3. 最終的な答え

$$

\begin{cases}

2a^2 & (a > 0)\\

\frac{9}{4}a^2 & (-2 \le a \le 0)\\

2a^2 - a - 1 & (a < -2)

\end{cases}

$$