多項式 $P(x) = x^3 + ax + b$ を $x-1$ で割った余りが $3$ であり、$x+1$ で割った余りが $5$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求めます。

## 問題 4 (1)

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 + ax + b$ を $x-1$ で割った余りが $3$ であり、$x+1$ で割った余りが $5$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

剰余の定理より、$P(1) = 3$ かつ $P(-1) = 5$ が成り立ちます。

まず、$P(1)$ を計算します。

$P(1) = 1^3 + a(1) + b = 1 + a + b = 3$

次に、$P(-1)$ を計算します。

$P(-1) = (-1)^3 + a(-1) + b = -1 - a + b = 5$

これにより、以下の連立方程式が得られます。

$1 + a + b = 3$

$-1 - a + b = 5$

これらの式を整理すると、

$a + b = 2$

$-a + b = 6$

2つの式を足し合わせると、

$2b = 8$

したがって、$b = 4$ です。

$a + b = 2$ に $b = 4$ を代入すると、

$a + 4 = 2$

したがって、$a = -2$ です。

3. 最終的な答え

$a = -2, b = 4$

## 問題 4 (2)

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 + ax^2 + 2x + b$ を $x^2 - 3x + 2$ で割った余りが $3x + 4$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - 3x + 2$ を因数分解します。

$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$

したがって、$P(x)$ を $(x-1)(x-2)$ で割った余りが $3x + 4$ であることから、剰余の定理より、$P(1) = 3(1) + 4 = 7$ かつ $P(2) = 3(2) + 4 = 10$ が成り立ちます。

$P(1)$ を計算します。

$P(1) = 1^3 + a(1)^2 + 2(1) + b = 1 + a + 2 + b = a + b + 3 = 7$

$P(2)$ を計算します。

$P(2) = 2^3 + a(2)^2 + 2(2) + b = 8 + 4a + 4 + b = 4a + b + 12 = 10$

これにより、以下の連立方程式が得られます。

$a + b + 3 = 7$

$4a + b + 12 = 10$

これらの式を整理すると、

$a + b = 4$

$4a + b = -2$

2番目の式から1番目の式を引くと、

$3a = -6$

したがって、$a = -2$ です。

$a + b = 4$ に $a = -2$ を代入すると、

$-2 + b = 4$

したがって、$b = 6$ です。

3. 最終的な答え

$a = -2, b = 6$

## 問題 5

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x-2$ で割ると余りが $5$ であり、$x-3$ で割ると余りが $9$ である。$P(x)$ を $(x-2)(x-3)$ で割ったときの余りを求めます。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x-2)(x-3)$ で割ったときの余りを $ax + b$ とおきます。

このとき、

$P(x) = (x-2)(x-3)Q(x) + ax + b$

と表せます。ここで、$Q(x)$ は商です。

剰余の定理より、$P(2) = 5$ かつ $P(3) = 9$ が成り立ちます。

$P(2)$ を計算します。

$P(2) = (2-2)(2-3)Q(2) + 2a + b = 2a + b = 5$

$P(3)$ を計算します。

$P(3) = (3-2)(3-3)Q(3) + 3a + b = 3a + b = 9$

これにより、以下の連立方程式が得られます。

$2a + b = 5$

$3a + b = 9$

2番目の式から1番目の式を引くと、

$a = 4$

$2a + b = 5$ に $a = 4$ を代入すると、

$2(4) + b = 5$

$8 + b = 5$

したがって、$b = -3$ です。

求める余りは $ax + b$ なので、$4x - 3$ となります。

3. 最終的な答え

$4x - 3$