次の4次方程式を解きます。 (1) $x^4 - 49 = 0$ (2) $x^4 - 3x^2 + 2 = 0$ (3) $x^4 + 5x^2 - 36 = 0$ (4) $6x^4 - 7x^2 - 3 = 0$

1. 問題の内容

次の4次方程式を解きます。

(1) $x^4 - 49 = 0$

(2) $x^4 - 3x^2 + 2 = 0$

(3) $x^4 + 5x^2 - 36 = 0$

(4) $6x^4 - 7x^2 - 3 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^4 - 49 = 0$

$x^4 - 49 = (x^2)^2 - 7^2 = (x^2 + 7)(x^2 - 7) = 0$

したがって、$x^2 + 7 = 0$ または $x^2 - 7 = 0$

$x^2 = -7$ のとき、$x = \pm \sqrt{-7} = \pm i\sqrt{7}$

$x^2 = 7$ のとき、$x = \pm \sqrt{7}$

(2) $x^4 - 3x^2 + 2 = 0$

$y = x^2$ とおくと、 $y^2 - 3y + 2 = 0$

$(y - 1)(y - 2) = 0$

したがって、$y = 1$ または $y = 2$

$x^2 = 1$ のとき、$x = \pm 1$

$x^2 = 2$ のとき、$x = \pm \sqrt{2}$

(3) $x^4 + 5x^2 - 36 = 0$

$y = x^2$ とおくと、$y^2 + 5y - 36 = 0$

$(y + 9)(y - 4) = 0$

したがって、$y = -9$ または $y = 4$

$x^2 = -9$ のとき、$x = \pm \sqrt{-9} = \pm 3i$

$x^2 = 4$ のとき、$x = \pm 2$

(4) $6x^4 - 7x^2 - 3 = 0$

$y = x^2$ とおくと、$6y^2 - 7y - 3 = 0$

$(2y - 3)(3y + 1) = 0$

したがって、$y = \frac{3}{2}$ または $y = -\frac{1}{3}$

$x^2 = \frac{3}{2}$ のとき、$x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

$x^2 = -\frac{1}{3}$ のとき、$x = \pm \sqrt{-\frac{1}{3}} = \pm \frac{i}{\sqrt{3}} = \pm \frac{i\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \pm \sqrt{7}, \pm i\sqrt{7}$

(2) $x = \pm 1, \pm \sqrt{2}$

(3) $x = \pm 2, \pm 3i$

(4) $x = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}, \pm \frac{i\sqrt{3}}{3}$