提示された数学の問題は、展開、因数分解、無理数の選択、命題の真偽判定、無理数の分母の有理化、およびそれに関連する計算問題です。具体的には、 (1) 式の展開(2問) (2) 式の因数分解(3問) (3) 無理数の選択(1問) (4) 正しい命題の選択(1問) (5) 無理数の分母を有理化し、整数部分と小数部分を求め、それらを用いて計算する問題(2問) から構成されています。

1. 問題の内容

提示された数学の問題は、展開、因数分解、無理数の選択、命題の真偽判定、無理数の分母の有理化、およびそれに関連する計算問題です。具体的には、

(1) 式の展開(2問)

(2) 式の因数分解(3問)

(3) 無理数の選択(1問)

(4) 正しい命題の選択(1問)

(5) 無理数の分母を有理化し、整数部分と小数部分を求め、それらを用いて計算する問題(2問)

から構成されています。

2. 解き方の手順

(1) 式の展開

(1) $(x-3)(x+3)^2 = (x-3)(x^2+6x+9) = x^3 + 6x^2 + 9x - 3x^2 - 18x - 27 = x^3 + 3x^2 - 9x - 27$

(2) $(x+y+6z)(x+y-6z) = (x+y)^2 - (6z)^2 = x^2 + 2xy + y^2 - 36z^2$

(2) 式の因数分解

(1) $2x^2+7x+3 = (2x+1)(x+3)$

(2) $(x-y)^2+4(x-y)-12 = ((x-y)+6)((x-y)-2) = (x-y+6)(x-y-2)$

(3) $x^2+(5y+5)x+6y^2+13y+6 = x^2 + (5y+5)x + (2y+3)(3y+2) = (x+(2y+3))(x+(3y+2)) = (x+2y+3)(x+3y+2)$

(3) 無理数の選択

無理数は、有理数として表すことができない実数です。与えられた数の中で、無理数は $\sqrt{3}$と$\pi$です。

(4) 正しい命題の選択

① 2つの自然数の和は常に自然数ですが、差はそうとは限りません。(例: 1-2 = -1)

② 2つの整数の和、差、積は常に整数ですが、商はそうとは限りません。(例: 1/2)

③ 2つの有理数の和、差、積、商は常に有理数です（ただし、0で割る場合を除く）。

④ 2つの実数の和、差、積は常に実数ですが、商はそうとは限りません(0で割る場合を除く)。

したがって、正しい命題は③です。

(5) 無理数の分母の有理化と計算

$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ の分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{1}{\sqrt{5}-2} \times \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2$

$\sqrt{5}$ は 2 と 3 の間の数なので ($2 < \sqrt{5} < 3$)、$\sqrt{5}+2$ は 4 と 5 の間の数です。$\sqrt{5} \approx 2.236$ なので、$\sqrt{5}+2 \approx 4.236$

したがって、$a = 4$ であり、$b = \sqrt{5} - 2$ です。

(1) $a = 4, b = \sqrt{5}-2$

(2)

$b + \frac{1}{b} = (\sqrt{5}-2) + \frac{1}{\sqrt{5}-2} = (\sqrt{5}-2) + (\sqrt{5}+2) = 2\sqrt{5}$

$b^2 + \frac{1}{b^2} = (b+\frac{1}{b})^2 - 2 = (2\sqrt{5})^2 - 2 = 4 \times 5 - 2 = 20 - 2 = 18$

3. 最終的な答え

(1) 式の展開

(1) $x^3 + 3x^2 - 9x - 27$

(2) $x^2 + 2xy + y^2 - 36z^2$

(2) 式の因数分解

(1) $(2x+1)(x+3)$

(2) $(x-y+6)(x-y-2)$

(3) $(x+2y+3)(x+3y+2)$

(3) 無理数の選択

$\sqrt{3}, \pi$

(4) 正しい命題の選択

③

(5) 無理数の分母の有理化と計算

(1) $a = 4, b = \sqrt{5}-2$

(2) $b + \frac{1}{b} = 2\sqrt{5}$, $b^2 + \frac{1}{b^2} = 18$