問題5: $\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ の整数の部分を $a$、小数の部分を $b$ とする。 (1) $a, b$ の値を求めよ。 (2) $b + \frac{1}{b}, b^2 + \frac{1}{b^2}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題5: $\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ の整数の部分を $a$、小数の部分を $b$ とする。

(1) $a, b$ の値を求めよ。

(2) $b + \frac{1}{b}, b^2 + \frac{1}{b^2}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

問題5 (1):

まず、$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ を有理化する。

$\frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{1}{\sqrt{5}-2} \times \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2$

$\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$ より $2 < \sqrt{5} < 3$。

したがって、$\sqrt{5}+2$ は $4$ と $5$ の間の数になる。

$\sqrt{5}+2$ の整数の部分 $a$ は $4$ である。

小数の部分 $b$ は $(\sqrt{5}+2) - 4 = \sqrt{5}-2$ である。

問題5 (2):

$b = \sqrt{5}-2$ より、$\frac{1}{b} = \frac{1}{\sqrt{5}-2} = \sqrt{5}+2$ である。

$b + \frac{1}{b} = (\sqrt{5}-2) + (\sqrt{5}+2) = 2\sqrt{5}$

$b^2 = (\sqrt{5}-2)^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = 9 - 4\sqrt{5}$

$\frac{1}{b^2} = (\sqrt{5}+2)^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\sqrt{5}$

$b^2 + \frac{1}{b^2} = (9 - 4\sqrt{5}) + (9 + 4\sqrt{5}) = 18$

3. 最終的な答え

問題5:

(1) $a=4$, $b=\sqrt{5}-2$

(2) $b + \frac{1}{b} = 2\sqrt{5}$, $b^2 + \frac{1}{b^2} = 18$