問題は、 $0 \le x < 2\pi$ の範囲で、(1) $\cos 2x = \sin x$ の方程式と、(2) $\cos 2x < \sin x$ の不等式を解くことです。

1. 問題の内容

問題は、 $0 \le x < 2\pi$ の範囲で、(1) $\cos 2x = \sin x$ の方程式と、(2) $\cos 2x < \sin x$ の不等式を解くことです。

2. 解き方の手順

(1) $\cos 2x = \sin x$ の解き方

$\cos 2x$ を $\sin x$ で表すために、2倍角の公式 $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ を用います。

これにより、方程式は $1 - 2\sin^2 x = \sin x$ となります。

この式を整理すると、$2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$ となります。

$\sin x = t$ とおくと、$2t^2 + t - 1 = 0$ となります。

この2次方程式を解くと、$(2t - 1)(t + 1) = 0$ より、$t = \frac{1}{2}, -1$ となります。

したがって、$\sin x = \frac{1}{2}$ または $\sin x = -1$ となります。

$\sin x = \frac{1}{2}$ のとき、$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$。

$\sin x = -1$ のとき、$x = \frac{3\pi}{2}$。

(2) $\cos 2x < \sin x$ の解き方

$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ を用いると、不等式は $1 - 2\sin^2 x < \sin x$ となります。

これを整理すると、$2\sin^2 x + \sin x - 1 > 0$ となります。

$\sin x = t$ とおくと、$2t^2 + t - 1 > 0$ となります。

$(2t - 1)(t + 1) > 0$ を解くと、$t < -1$ または $t > \frac{1}{2}$ となります。

しかし、$-1 \le \sin x \le 1$ なので、$t < -1$ はありえません。

したがって、$\sin x > \frac{1}{2}$ となります。

$\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}$ が解となります。

3. 最終的な答え

(1) $\cos 2x = \sin x$ の解は、$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$。

(2) $\cos 2x < \sin x$ の解は、$\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}$。