与えられた極限を計算します。 $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2\sin x)}{3x(1+2x)}$$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2\sin x)}{3x(1+2x)}$$

2. 解き方の手順

極限を計算するために、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ と $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$を利用します。

まず、与えられた式を以下のように変形します。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2\sin x)}{3x(1+2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2\sin x)}{2\sin x} \cdot \frac{2\sin x}{3x(1+2x)}$$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2\sin x)}{2\sin x} = 1$ であるため、

$$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin x}{3x(1+2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{3(1+2x)} \cdot \frac{\sin x}{x}$$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ であり、$\lim_{x \to 0} (1+2x) = 1$であるため、

$$\lim_{x \to 0} \frac{2}{3(1+2x)} \cdot \frac{\sin x}{x} = \frac{2}{3(1+0)} \cdot 1 = \frac{2}{3}$$

したがって、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2\sin x)}{3x(1+2x)} = \frac{2}{3}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{2}{3}$$