与えられた2つの極限を計算します。 (1) $\lim_{x \to a} \frac{\sin x - \sin a}{\sin(x-a)}$ (2) $\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{1 - e^{2x-2}}$

1. 問題の内容

与えられた2つの極限を計算します。

(1) $\lim_{x \to a} \frac{\sin x - \sin a}{\sin(x-a)}$

(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{1 - e^{2x-2}}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to a} \frac{\sin x - \sin a}{\sin(x-a)}$

和積の公式を用いて、分子を変形します。

$\sin x - \sin a = 2 \cos(\frac{x+a}{2}) \sin(\frac{x-a}{2})$

したがって、

$\lim_{x \to a} \frac{\sin x - \sin a}{\sin(x-a)} = \lim_{x \to a} \frac{2 \cos(\frac{x+a}{2}) \sin(\frac{x-a}{2})}{\sin(x-a)}$

ここで、$x-a = t$ とおくと、$x \to a$ のとき $t \to 0$ となります。また、$x = t+a$ なので、

$\lim_{x \to a} \frac{2 \cos(\frac{x+a}{2}) \sin(\frac{x-a}{2})}{\sin(x-a)} = \lim_{t \to 0} \frac{2 \cos(\frac{t+2a}{2}) \sin(\frac{t}{2})}{\sin(t)}$

$= \lim_{t \to 0} 2 \cos(\frac{t+2a}{2}) \frac{\sin(\frac{t}{2})}{\sin(t)}$

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin(\frac{t}{2})}{\sin(t)} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin(\frac{t}{2})}{\frac{t}{2}} \cdot \frac{t}{\sin(t)} \cdot \frac{1}{2} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

したがって、

$\lim_{t \to 0} 2 \cos(\frac{t+2a}{2}) \frac{\sin(\frac{t}{2})}{\sin(t)} = 2 \cos(\frac{2a}{2}) \cdot \frac{1}{2} = \cos a$

(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{1 - e^{2x-2}}$

$x-1 = t$ とおくと、$x \to 1$ のとき $t \to 0$ となります。また、$x = t+1$ なので、

$\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{1 - e^{2x-2}} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{1 - e^{2(t+1)-2}} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{1 - e^{2t}}$

$= \lim_{t \to 0} \frac{t}{1 - (1 + 2t + \frac{(2t)^2}{2!} + \dots)} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{-2t - \frac{4t^2}{2} - \dots} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{-2 - 2t - \dots} = -\frac{1}{2}$

または、ロピタルの定理を用いると、

$\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{1 - e^{2x-2}} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{-2e^{2x-2}} = \frac{1}{-2e^{2(1)-2}} = \frac{1}{-2e^0} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos a$

(2) $-\frac{1}{2}$