実数 $a$ （ただし、$a \neq 0$）に対して、関数 $f(x) = ax^3 - \frac{3}{2}(a^2+1)x^2 + 3ax$ が与えられている。 (1) $f(x)$ が極値をもたないような $a$ の値を求める。 (2) $f(x)$ の極大値が正で、極小値が負となるような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

実数 $a$ （ただし、$a \neq 0$）に対して、関数 $f(x) = ax^3 - \frac{3}{2}(a^2+1)x^2 + 3ax$ が与えられている。

(1) $f(x)$ が極値をもたないような $a$ の値を求める。

(2) $f(x)$ の極大値が正で、極小値が負となるような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ が極値をもたない条件を求める。

$f'(x) = 3ax^2 - 3(a^2+1)x + 3a$

$f'(x) = 0$ が実数解をもたない、または重解を持つとき、$f(x)$ は極値を持たない。

$f'(x) = 0$ の判別式を $D$ とすると、

$D = 9(a^2+1)^2 - 4(3a)(3a) = 9(a^4+2a^2+1) - 36a^2 = 9a^4 - 18a^2 + 9 = 9(a^2-1)^2$

$D \leq 0$ となれば良いので、$9(a^2-1)^2 \leq 0$。

$(a^2-1)^2$ は常に0以上なので、$D = 0$ となる $a$ を求める。

$a^2 - 1 = 0$ より、$a = \pm 1$。

(2) $f(x)$ の極大値が正で、極小値が負となる条件を求める。

$f'(x) = 3a(x^2 - \frac{a^2+1}{a}x + 1) = 0$ を解くと、

$x = \frac{\frac{a^2+1}{a} \pm \sqrt{(\frac{a^2+1}{a})^2 - 4}}{2} = \frac{a^2+1 \pm \sqrt{(a^2+1)^2 - 4a^2}}{2a} = \frac{a^2+1 \pm \sqrt{a^4-2a^2+1}}{2a} = \frac{a^2+1 \pm \sqrt{(a^2-1)^2}}{2a} = \frac{a^2+1 \pm |a^2-1|}{2a}$

$x_1 = \frac{a^2+1 + |a^2-1|}{2a}, x_2 = \frac{a^2+1 - |a^2-1|}{2a}$

(i) $a > 1$ のとき, $x_1 = \frac{a^2+1 + a^2-1}{2a} = \frac{2a^2}{2a} = a$, $x_2 = \frac{a^2+1 - (a^2-1)}{2a} = \frac{2}{2a} = \frac{1}{a}$.

$x_2 < x_1$, $f(1/a) > 0$ かつ $f(a) < 0$ となればよい。

$f(1/a) = a(\frac{1}{a})^3 - \frac{3}{2}(a^2+1)(\frac{1}{a})^2 + 3a(\frac{1}{a}) = \frac{1}{a^2} - \frac{3(a^2+1)}{2a^2} + 3 = \frac{2-3a^2-3+6a^2}{2a^2} = \frac{3a^2-1}{2a^2} > 0$

$3a^2 > 1$, $a^2 > \frac{1}{3}$, $a > \frac{1}{\sqrt{3}}$

$f(a) = a(a)^3 - \frac{3}{2}(a^2+1)(a)^2 + 3a(a) = a^4 - \frac{3}{2}(a^4+a^2) + 3a^2 = \frac{2a^4-3a^4-3a^2+6a^2}{2} = \frac{-a^4+3a^2}{2} = \frac{a^2(3-a^2)}{2} < 0$

$3-a^2 < 0$, $a^2 > 3$, $a > \sqrt{3}$

$a > \sqrt{3}$

(ii) $0 < a < 1$ のとき, $x_1 = \frac{a^2+1 - (a^2-1)}{2a} = \frac{2}{2a} = \frac{1}{a}, x_2 = \frac{a^2+1 + (a^2-1)}{2a} = \frac{2a^2}{2a} = a$.

$x_1 > x_2$, $f(1/a) < 0$ かつ $f(a) > 0$ となればよい。

$f(1/a) = \frac{3a^2-1}{2a^2} < 0$, $3a^2 - 1 < 0$, $a^2 < \frac{1}{3}$, $a < \frac{1}{\sqrt{3}}$.

$f(a) = \frac{a^2(3-a^2)}{2} > 0$, $3-a^2 > 0$, $a^2 < 3$, $a < \sqrt{3}$.

$0 < a < \frac{1}{\sqrt{3}}$

(iii) $a < 0$ のとき

$f'(x) = 0$ の解は $x = a, 1/a$.

$f(x) = ax^3 - \frac{3}{2}(a^2+1)x^2 + 3ax$

$x = a$ のとき $f(a) = \frac{a^2(3-a^2)}{2}$

$x = 1/a$ のとき $f(1/a) = \frac{3a^2-1}{2a^2}$

$a < 0$ なので, $a < 1/a$

もし$a < -\sqrt{3}$ ならば，$x=a$ は極大，$x=1/a$ は極小であり、

$f(a)=\frac{a^2(3-a^2)}{2} < 0$であり、$f(1/a)=\frac{3a^2-1}{2a^2}>0$である。

$a < -\sqrt{3}$

もし$-\sqrt{3} < a < 0$ ならば、$x=a$ は極大，$x=1/a$ は極小であり、

$f(a)=\frac{a^2(3-a^2)}{2} > 0$であり、$f(1/a)=\frac{3a^2-1}{2a^2}$となる。

$-\sqrt{3} < a < -1/\sqrt{3}$ ならば，$f(1/a)<0$

$-1/\sqrt{3} < a < 0$ ならば，$f(1/a)>0$

ゆえに， $-\sqrt{3} < a < -1/\sqrt{3}$ は不適

最終的な答え

(1) $a = \pm 1$

(2) $a > \sqrt{3}$ または $0 < a < \frac{1}{\sqrt{3}}$ または $a < -\sqrt{3}$