与えられた関数 $y$ を微分する問題です。 (1) $y = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}$ (2) $y = \sqrt{1 + \sin x}$ (3) $y = \sin^3(2x - 1)$ (4) $y = \tan(\sin x^2)$

1. 問題の内容

与えられた関数 $y$ を微分する問題です。

(1) $y = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}$

(2) $y = \sqrt{1 + \sin x}$

(3) $y = \sin^3(2x - 1)$

(4) $y = \tan(\sin x^2)$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}$ の微分

商の微分公式 $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = \sin x - \cos x$ とすると、$u' = \cos x + \sin x$

$v = \sin x + \cos x$ とすると、$v' = \cos x - \sin x$

よって、

$y' = \frac{(\cos x + \sin x)(\sin x + \cos x) - (\sin x - \cos x)(\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2}$

$y' = \frac{(\sin x + \cos x)^2 + (\sin x - \cos x)^2}{(\sin x + \cos x)^2}$

$y' = \frac{(\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x) + (\sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x)}{(\sin x + \cos x)^2}$

$y' = \frac{2(\sin^2 x + \cos^2 x)}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{2}{(\sin x + \cos x)^2}$

$y' = \frac{2}{\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x} = \frac{2}{1 + 2\sin x \cos x} = \frac{2}{1 + \sin 2x}$

(2) $y = \sqrt{1 + \sin x}$ の微分

合成関数の微分を用います。$y = u^{1/2}$ where $u = 1 + \sin x$.

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2} u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

$\frac{du}{dx} = \cos x$

$y' = \frac{1}{2\sqrt{1 + \sin x}} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{2\sqrt{1 + \sin x}}$

(3) $y = \sin^3(2x - 1)$ の微分

合成関数の微分を用います。$y = u^3$ where $u = \sin(2x - 1)$.

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 3u^2 = 3\sin^2(2x - 1)$

$\frac{du}{dx} = \cos(2x - 1) \cdot 2 = 2\cos(2x - 1)$

$y' = 3\sin^2(2x - 1) \cdot 2\cos(2x - 1) = 6\sin^2(2x - 1)\cos(2x - 1)$

(4) $y = \tan(\sin x^2)$ の微分

合成関数の微分を用います。

$y' = \sec^2(\sin x^2) \cdot \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \sec^2(\sin x^2) \cos(x^2)$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{2}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{2}{1 + \sin 2x}$

(2) $y' = \frac{\cos x}{2\sqrt{1 + \sin x}}$

(3) $y' = 6\sin^2(2x - 1)\cos(2x - 1)$

(4) $y' = 2x \sec^2(\sin x^2) \cos(x^2)$