以下の2つの問題があります。 (1) 10個の関数を$x$で微分する。ただし、$a$, $b$, $c$は定数とする。 (2) 関数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x$ の $x = -2$ における微分係数を求める。

はい、承知いたしました。画像に写っている数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の2つの問題があります。

(1) 10個の関数を$x$で微分する。ただし、$a$, $b$, $c$は定数とする。

(2) 関数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x$ の $x = -2$ における微分係数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 微分

関数の微分は、以下の公式を用いて行います。

$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$

定数の微分は0です。

(1) $y = 6x^3 + 1$

$\frac{dy}{dx} = 6 \cdot 3x^2 + 0 = 18x^2$

(2) $y = x^3 - 2x^2 + 3x + 5$

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2 \cdot 2x + 3 + 0 = 3x^2 - 4x + 3$

(3) $y = x^3(3x^2 - 1) = 3x^5 - x^3$

$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot 5x^4 - 3x^2 = 15x^4 - 3x^2$

(4) $y = -2x^2 - x - 5$

$\frac{dy}{dx} = -2 \cdot 2x - 1 - 0 = -4x - 1$

(5) $y = 4^3 = 64$ （定数）

$\frac{dy}{dx} = 0$

(6) $y = \frac{2}{3}x^3 - 5x^2 + 10$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3} \cdot 3x^2 - 5 \cdot 2x + 0 = 2x^2 - 10x$

(7) $y = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 8x + 6$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{3} \cdot 3x^2 + \frac{3}{2} \cdot 2x - 8 + 0 = -x^2 + 3x - 8$

(8) $y = -5c$ （定数）

$\frac{dy}{dx} = 0$

(9) $y = (a+2)x^4 - 3bx^2 + c$

$\frac{dy}{dx} = (a+2) \cdot 4x^3 - 3b \cdot 2x + 0 = 4(a+2)x^3 - 6bx$

(10) $y = ax^3 - 3x^2 + (2b+1)x - c$

$\frac{dy}{dx} = a \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x + (2b+1) - 0 = 3ax^2 - 6x + 2b + 1$

(2) 微分係数

関数 $f(x)$ の $x = -2$ における微分係数は、$f'(-2)$ で求められます。

まず、$f(x)$ を微分します。

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x$

$f'(x) = 3x^2 - 6x + 5$

次に、$x = -2$ を代入します。

$f'(-2) = 3(-2)^2 - 6(-2) + 5 = 3(4) + 12 + 5 = 12 + 12 + 5 = 29$

3. 最終的な答え

(1)

(1) $18x^2$

(2) $3x^2 - 4x + 3$

(3) $15x^4 - 3x^2$

(4) $-4x - 1$

(5) $0$

(6) $2x^2 - 10x$

(7) $-x^2 + 3x - 8$

(8) $0$

(9) $4(a+2)x^3 - 6bx$

(10) $3ax^2 - 6x + 2b + 1$

(2)

$29$