関数 $g(x) = 3x^3 - 36x$ の区間 $[-4, 4]$ における相対的極値と絶対的極値をすべて求め、その座標を特定する問題です。

1. 問題の内容

関数 $g(x) = 3x^3 - 36x$ の区間 $[-4, 4]$ における相対的極値と絶対的極値をすべて求め、その座標を特定する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 導関数を求める：まず、$g(x)$ の導関数 $g'(x)$ を求めます。

$g'(x) = 9x^2 - 36$

(2) 臨界点を求める：$g'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$9x^2 - 36 = 0$

$9x^2 = 36$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

(3) 第2次導関数を求める：$g''(x)$ を求めます。

$g''(x) = 18x$

(4) 相対的極値を判定する：

$x=2$ のとき、$g''(2) = 18(2) = 36 > 0$ なので、$x=2$ で相対的最小値をとります。

$x=-2$ のとき、$g''(-2) = 18(-2) = -36 < 0$ なので、$x=-2$ で相対的最大値をとります。

$g(2) = 3(2)^3 - 36(2) = 3(8) - 72 = 24 - 72 = -48$

$g(-2) = 3(-2)^3 - 36(-2) = 3(-8) + 72 = -24 + 72 = 48$

したがって、相対的最小値は $(2, -48)$、相対的最大値は $(-2, 48)$ です。

(5) 絶対的極値を求める：

区間の端点 $x = -4$ と $x = 4$ における関数の値を求めます。

$g(-4) = 3(-4)^3 - 36(-4) = 3(-64) + 144 = -192 + 144 = -48$

$g(4) = 3(4)^3 - 36(4) = 3(64) - 144 = 192 - 144 = 48$

区間の端点と臨界点における関数の値を比較します。

$g(-4) = -48$

$g(4) = 48$

$g(-2) = 48$

$g(2) = -48$

(6) 極値を特定する：

絶対的最大値は $(4, 48)$ または $(-2, 48)$ で、絶対的最小値は $(-4, -48)$ または $(2, -48)$です。

3. 最終的な答え

g has a relative minimum at (x, y) = (2, -48).

g has a relative maximum at (x, y) = (-2, 48).

g has an absolute minimum at (x, y) = (-4, -48).

g has an absolute maximum at (x, y) = (4, 48).