与えられた微分方程式 $x \frac{dy}{dx} + y = y^2 \log x$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $x \frac{dy}{dx} + y = y^2 \log x$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式をベルヌーイ型微分方程式の形に変形します。

$x \frac{dy}{dx} + y = y^2 \log x$

両辺を $x$ で割ると、

$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y = \frac{1}{x} y^2 \log x$

次に、$v = y^{-1}$ とおくと、$\frac{dv}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$ となります。したがって、$\frac{dy}{dx} = -y^2 \frac{dv}{dx}$ です。これを元の微分方程式に代入すると、

$-y^2 \frac{dv}{dx} + \frac{1}{x} y = \frac{1}{x} y^2 \log x$

両辺を $-y^2$ で割ると、

$\frac{dv}{dx} - \frac{1}{x} y^{-1} = -\frac{1}{x} \log x$

$v = y^{-1}$ を代入すると、

$\frac{dv}{dx} - \frac{1}{x} v = -\frac{1}{x} \log x$

これは1階線形微分方程式です。積分因子を $I(x) = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\log x} = \frac{1}{x}$ とします。

両辺に積分因子 $I(x) = \frac{1}{x}$ をかけると、

$\frac{1}{x} \frac{dv}{dx} - \frac{1}{x^2} v = -\frac{1}{x^2} \log x$

$\frac{d}{dx} \left( \frac{v}{x} \right) = -\frac{1}{x^2} \log x$

両辺を積分すると、

$\int \frac{d}{dx} \left( \frac{v}{x} \right) dx = \int -\frac{\log x}{x^2} dx$

$\frac{v}{x} = -\int \frac{\log x}{x^2} dx$

ここで、部分積分を行います。$u = \log x, dv = \frac{1}{x^2} dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx, v = -\frac{1}{x}$ となります。

$\int \frac{\log x}{x^2} dx = -\frac{\log x}{x} - \int -\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} dx = -\frac{\log x}{x} + \int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{\log x}{x} - \frac{1}{x} + C$

したがって、

$\frac{v}{x} = - \left( -\frac{\log x}{x} - \frac{1}{x} + C \right) = \frac{\log x}{x} + \frac{1}{x} - C$

$v = \log x + 1 - Cx$

$v = y^{-1}$ より、

$\frac{1}{y} = \log x + 1 - Cx$

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{\log x + 1 - Cx}$