与えられた微分方程式を解く問題です。微分方程式は $\frac{dy}{dx} = a - by$ であり、$a$と$b$は定数です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式を解く問題です。微分方程式は $\frac{dy}{dx} = a - by$ であり、$a$と$b$は定数です。

2. 解き方の手順

この微分方程式は変数分離形なので、以下の手順で解きます。

1. 変数分離を行います。つまり、$y$を含む項を左辺に、$x$を含む項を右辺に集めます。

$\frac{dy}{a-by} = dx$

2. 両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{a-by} = \int dx$

左辺の積分は、置換積分を行います。$u = a-by$ とおくと、$du = -bdy$ となります。よって、$dy = -\frac{1}{b}du$ です。

$\int \frac{dy}{a-by} = \int \frac{-\frac{1}{b} du}{u} = -\frac{1}{b} \int \frac{du}{u} = -\frac{1}{b} \ln|u| + C_1 = -\frac{1}{b} \ln|a-by| + C_1$

右辺の積分は簡単で、

$\int dx = x + C_2$

3. 積分結果をまとめます。

$-\frac{1}{b} \ln|a-by| = x + C$ ($C = C_2 - C_1$)

4. $y$について解きます。

$\ln|a-by| = -bx - bC$

$|a-by| = e^{-bx - bC} = e^{-bx} e^{-bC}$

$a-by = \pm e^{-bC} e^{-bx} = Ae^{-bx}$ ($A = \pm e^{-bC}$)

$-by = Ae^{-bx} - a$

$y = -\frac{A}{b}e^{-bx} + \frac{a}{b}$

$y = Ce^{-bx} + \frac{a}{b}$ ($C = -\frac{A}{b}$)

3. 最終的な答え

$y = Ce^{-bx} + \frac{a}{b}$ (Cは任意定数)