与えられた関数 $y = \frac{\cos x}{1 - \sin x}$ を微分して、$y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{\cos x}{1 - \sin x}$ を微分して、$y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

分数の微分なので、商の微分公式を使います。

商の微分公式は、 $y = \frac{u}{v}$ のとき、$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ です。

この問題では、$u = \cos x$ , $v = 1 - \sin x$ とおきます。

すると、$u' = -\sin x$ , $v' = -\cos x$ となります。

これらの値を商の微分公式に代入します。

$y' = \frac{(-\sin x)(1 - \sin x) - (\cos x)(-\cos x)}{(1 - \sin x)^2}$

式を整理します。

$y' = \frac{-\sin x + \sin^2 x + \cos^2 x}{(1 - \sin x)^2}$

三角関数の公式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を用います。

$y' = \frac{-\sin x + 1}{(1 - \sin x)^2}$

分子を書き換えます。

$y' = \frac{1 - \sin x}{(1 - \sin x)^2}$

約分して、式を簡単にします。

$y' = \frac{1}{1 - \sin x}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{1}{1 - \sin x}$