問題(8)は、関数 $y = \frac{1 - \sin x}{1 + \cos x}$ を微分せよ、という問題です。

1. 問題の内容

問題(8)は、関数 $y = \frac{1 - \sin x}{1 + \cos x}$ を微分せよ、という問題です。

2. 解き方の手順

商の微分公式を用いて微分します。商の微分公式は、 $y = \frac{u}{v}$ のとき、 $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ です。

この問題では、$u = 1 - \sin x$、$v = 1 + \cos x$ とおきます。

まず、$u$ と $v$ の微分を計算します。

$u' = (1 - \sin x)' = -\cos x$

$v' = (1 + \cos x)' = -\sin x$

商の微分公式に代入します。

$y' = \frac{(-\cos x)(1 + \cos x) - (1 - \sin x)(-\sin x)}{(1 + \cos x)^2}$

$y' = \frac{-\cos x - \cos^2 x + \sin x - \sin^2 x}{(1 + \cos x)^2}$

$y' = \frac{-(\cos x + \sin x) - (\cos^2 x + \sin^2 x)}{(1 + \cos x)^2}$

三角関数の公式 $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ を用います。

$y' = \frac{-(\cos x + \sin x) - 1}{(1 + \cos x)^2}$

$y' = \frac{-1 - \cos x - \sin x}{(1 + \cos x)^2}$

$y' = \frac{-(1 + \cos x) - \sin x}{(1 + \cos x)^2}$

$y' = \frac{-(1 + \cos x)}{(1 + \cos x)^2} - \frac{\sin x}{(1 + \cos x)^2}$

$y' = -\frac{1}{1 + \cos x} - \frac{\sin x}{(1 + \cos x)^2}$

$y' = \frac{-(1 + \cos x) - \sin x}{(1 + \cos x)^2}$

$y' = \frac{-1 - \cos x - \sin x}{(1 + \cos x)^2}$

$y' = \frac{-\cos x(1 + \cos x) - (1 - \sin x)(-\sin x)}{(1 + \cos x)^2} = \frac{-\cos x - \cos^2 x + \sin x - \sin^2 x}{(1 + \cos x)^2} = \frac{-\cos x + \sin x - 1}{(1 + \cos x)^2}$

$y' = \frac{\sin x - \cos x - 1}{(1 + \cos x)^2}$

分子に $-(\cos x + 1)$ の項があるので $(1 + \cos x)$ で約分してみる。

$y = \frac{1 - \sin x}{1 + \cos x} = \frac{(\cos^2(x/2) + \sin^2(x/2)) - 2\sin(x/2)\cos(x/2)}{\cos^2(x/2) + \sin^2(x/2) + \cos^2(x/2) - \sin^2(x/2)} = \frac{(\cos(x/2) - \sin(x/2))^2}{2\cos^2(x/2)} = \frac{(\cos(x/2) - \sin(x/2))^2}{2\cos^2(x/2)}$

$y' = \frac{1-\sin x}{1 + \cos x}$

$y' = \frac{-cos x (1 + cosx) - (1-\sin x)(-\sin x)}{(1+ \cos x)^2} = \frac{-cos x - cos^2 x + \sin x - \sin^2 x}{(1 + \cos x)^2} = \frac{-(\cos x + 1) + \sin x}{(1 + \cos x)^2}$

$y' = \frac{\sin x - (\cos x + 1)}{(1 + \cos x)^2}$

３．最終的な答え

$y' = \frac{\sin x - \cos x - 1}{(1 + \cos x)^2}$