関数 $y = \frac{1-\sin x}{1+\cos x}$ を微分して、$y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1-\sin x}{1+\cos x}$ を微分して、$y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使います。商の微分公式とは、関数 $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ のとき、

$$y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$$

となるものです。今回の問題では、$u(x) = 1 - \sin x$、$v(x) = 1 + \cos x$ となります。

まず、$u(x)$ と $v(x)$ をそれぞれ微分します。

$u'(x) = (1 - \sin x)' = -\cos x$

$v'(x) = (1 + \cos x)' = -\sin x$

これらの結果を商の微分公式に代入します。

$$y' = \frac{(-\cos x)(1+\cos x) - (1-\sin x)(-\sin x)}{(1+\cos x)^2}$$

$$y' = \frac{-\cos x - \cos^2 x + \sin x - \sin^2 x}{(1+\cos x)^2}$$

$$y' = \frac{-\cos x + \sin x - (\cos^2 x + \sin^2 x)}{(1+\cos x)^2}$$

三角関数の公式 $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ を用いると、

$$y' = \frac{-\cos x + \sin x - 1}{(1+\cos x)^2}$$

$$y' = \frac{\sin x - \cos x - 1}{(1+\cos x)^2}$$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{\sin x - \cos x - 1}{(1+\cos x)^2}$