定積分 $\int_{0}^{3} \frac{dx}{9+x^2}$ を、$x = 3 \tan{\theta}$ ($- \frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$) と置換して求めよ。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{3} \frac{dx}{9+x^2}$ を、$x = 3 \tan{\theta}$ ($- \frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$) と置換して求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x=3\tan\theta$ より、$dx$ を $\theta$ で表します。

$dx = \frac{d}{d\theta}(3\tan\theta) d\theta = 3\sec^2\theta \, d\theta$

次に、積分範囲を変換します。

$x=0$ のとき、$0 = 3\tan\theta$ なので、$\tan\theta = 0$ より、$\theta = 0$。

$x=3$ のとき、$3 = 3\tan\theta$ なので、$\tan\theta = 1$ より、$\theta = \frac{\pi}{4}$。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{3} \frac{dx}{9+x^2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{3\sec^2\theta}{9 + (3\tan\theta)^2} \, d\theta$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{3\sec^2\theta}{9 + 9\tan^2\theta} \, d\theta$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{3\sec^2\theta}{9(1 + \tan^2\theta)} \, d\theta$

ここで、$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ なので、

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{3\sec^2\theta}{9\sec^2\theta} \, d\theta$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{3} \, d\theta$

$= \frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} d\theta$

$= \frac{1}{3} [\theta]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$

$= \frac{1}{3} (\frac{\pi}{4} - 0)$

$= \frac{\pi}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{12}$