与えられた積分を計算する問題です。 (1) $\int (\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2})^2 dx$ (2) $\int \sin x \cos x \cos 2x dx$ (3) $\int \cos 3x \sin 5x dx$ (4) $\int \sin 2x \sin 4x dx$ (5) $\int \cos^2 \frac{x}{2} dx$ (6) $\int \sin^2 \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算する問題です。

(1) $\int (\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2})^2 dx$

(2) $\int \sin x \cos x \cos 2x dx$

(3) $\int \cos 3x \sin 5x dx$

(4) $\int \sin 2x \sin 4x dx$

(5) $\int \cos^2 \frac{x}{2} dx$

(6) $\int \sin^2 \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int (\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2})^2 dx$

まず、積分の中身を展開します。

$(\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2})^2 = \sin^2\frac{x}{2} + 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2}$

三角関数の公式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ と $2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$ を使うと、

$= 1 + \sin x$

したがって、積分は次のようになります。

$\int (1 + \sin x) dx = \int 1 dx + \int \sin x dx = x - \cos x + C$

(2) $\int \sin x \cos x \cos 2x dx$

$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ なので、

$\int \sin x \cos x \cos 2x dx = \int \frac{1}{2} \sin 2x \cos 2x dx = \frac{1}{2} \int \sin 2x \cos 2x dx$

ここで、$2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$ を使うと、$\sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2}\sin 4x$

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \sin 4x dx = \frac{1}{4} \int \sin 4x dx = \frac{1}{4} (-\frac{1}{4} \cos 4x) + C = -\frac{1}{16} \cos 4x + C$

(3) $\int \cos 3x \sin 5x dx$

三角関数の積和の公式 $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B)+\sin(A-B)]$を使うと、

$\cos 3x \sin 5x = \sin 5x \cos 3x = \frac{1}{2}[\sin(5x+3x) + \sin(5x-3x)] = \frac{1}{2}[\sin 8x + \sin 2x]$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{2} [\sin 8x + \sin 2x] dx = \frac{1}{2} \int \sin 8x dx + \frac{1}{2} \int \sin 2x dx = \frac{1}{2} (-\frac{1}{8}\cos 8x) + \frac{1}{2} (-\frac{1}{2}\cos 2x) + C = -\frac{1}{16} \cos 8x - \frac{1}{4} \cos 2x + C$

(4) $\int \sin 2x \sin 4x dx$

三角関数の積和の公式 $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B)-\cos(A+B)]$を使うと、

$\sin 2x \sin 4x = \frac{1}{2}[\cos(2x-4x) - \cos(2x+4x)] = \frac{1}{2}[\cos(-2x) - \cos 6x] = \frac{1}{2}[\cos 2x - \cos 6x]$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{2} [\cos 2x - \cos 6x] dx = \frac{1}{2} \int \cos 2x dx - \frac{1}{2} \int \cos 6x dx = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \sin 2x) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \sin 6x) + C = \frac{1}{4} \sin 2x - \frac{1}{12} \sin 6x + C$

(5) $\int \cos^2 \frac{x}{2} dx$

半角の公式 $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ を使うと、

$\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{1 + \cos x}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 + \cos x) dx = \frac{1}{2} (x + \sin x) + C = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\sin x + C$

(6) $\int \sin^2 \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2} dx$

$\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \sin x$ なので、

$\int \sin^2 \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2} dx = \int (\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2})^2 dx = \int (\frac{1}{2} \sin x)^2 dx = \int \frac{1}{4} \sin^2 x dx = \frac{1}{4} \int \sin^2 x dx$

半角の公式 $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ を使うと、

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$

$\frac{1}{4} \int \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{8} \int (1 - \cos 2x) dx = \frac{1}{8} (x - \frac{1}{2} \sin 2x) + C = \frac{1}{8}x - \frac{1}{16} \sin 2x + C$

3. 最終的な答え

(1) $x - \cos x + C$

(2) $-\frac{1}{16} \cos 4x + C$

(3) $-\frac{1}{16} \cos 8x - \frac{1}{4} \cos 2x + C$

(4) $\frac{1}{4} \sin 2x - \frac{1}{12} \sin 6x + C$

(5) $\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\sin x + C$

(6) $\frac{1}{8}x - \frac{1}{16} \sin 2x + C$