画像に掲載されている不定積分を計算する問題です。ここでは、以下の問題(2)と(4)を解きます。 (2) $\int \sin x \cos x \cos 2x \, dx$ (4) $\int \sin 2x \sin 4x \, dx$

はい、承知いたしました。問題の内容と解き方、そして最終的な答えを以下に示します。

1. 問題の内容

画像に掲載されている不定積分を計算する問題です。ここでは、以下の問題(2)と(4)を解きます。

(2) $\int \sin x \cos x \cos 2x \, dx$

(4) $\int \sin 2x \sin 4x \, dx$

2. 解き方の手順

(2)

三角関数の積を和に変換する公式を用います。まず、$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ ですから、

$\int \sin x \cos x \cos 2x \, dx = \int \frac{1}{2} \sin 2x \cos 2x \, dx$

さらに、$\sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2} \sin 4x$ ですから、

$\int \frac{1}{2} \sin 2x \cos 2x \, dx = \int \frac{1}{4} \sin 4x \, dx$

したがって、

$\int \frac{1}{4} \sin 4x \, dx = \frac{1}{4} \int \sin 4x \, dx = \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{1}{4} \cos 4x\right) + C = -\frac{1}{16} \cos 4x + C$

(4)

三角関数の積を和に変換する公式$\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$を用います。

$\int \sin 2x \sin 4x \, dx = \int \frac{1}{2} [\cos (2x - 4x) - \cos (2x + 4x)] \, dx$

$= \frac{1}{2} \int (\cos (-2x) - \cos 6x) \, dx = \frac{1}{2} \int (\cos 2x - \cos 6x) \, dx$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \sin 2x - \frac{1}{6} \sin 6x \right) + C = \frac{1}{4} \sin 2x - \frac{1}{12} \sin 6x + C$

3. 最終的な答え

(2)

$-\frac{1}{16} \cos 4x + C$

(4)

$\frac{1}{4} \sin 2x - \frac{1}{12} \sin 6x + C$