$\sin 24^\circ$ の値を小数第4位まで求める問題です。

1. 問題の内容

$\sin 24^\circ$ の値を小数第4位まで求める問題です。

2. 解き方の手順

直接 $\sin 24^\circ$ の値を求めることは難しいので、三角関数の加法定理を利用して、既知の値から計算します。

$24^\circ = 30^\circ - 6^\circ$であることに注目します。

まず$\sin 30^\circ$と$\cos 30^\circ$は既知の値です。$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$、$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$です。

$\sin 6^\circ$と$\cos 6^\circ$の値を求めます。

$6^\circ = \frac{1}{5} \times 30^\circ$であることや、$36^\circ$、 $18^\circ$を利用するなどの方法が考えられます。

ここで、$18^\circ$を利用する方法を考えます。

$\sin(3\theta) = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$

$\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta$

において、$\theta = 18^\circ$とすると、$5\theta = 90^\circ$なので、$3\theta = 90^\circ - 2\theta$

$\sin(3\theta) = \sin(90^\circ - 2\theta) = \cos(2\theta)$

したがって、$3\sin\theta - 4\sin^3\theta = 1 - 2\sin^2\theta$

$4\sin^3\theta - 2\sin^2\theta - 3\sin\theta + 1 = 0$

$(\sin\theta - 1)(4\sin^2\theta + 2\sin\theta - 1) = 0$

$\theta = 18^\circ$のとき$\sin\theta \neq 1$なので、$4\sin^2\theta + 2\sin\theta - 1 = 0$

$\sin\theta = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(4)(-1)}}{8} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$

$\sin 18^\circ > 0$なので、$\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

$\cos 18^\circ = \sqrt{1 - \sin^2 18^\circ} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{5}-1}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{16}} = \sqrt{\frac{10 + 2\sqrt{5}}{16}} = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}$

次に、

$\sin 30^\circ = \sin(12^\circ + 18^\circ) = \sin 12^\circ \cos 18^\circ + \cos 12^\circ \sin 18^\circ$

$12^\circ = 30^\circ - 18^\circ$と考える方が計算しやすいです。

$\sin(30^\circ - 18^\circ) = \sin 30^\circ \cos 18^\circ - \cos 30^\circ \sin 18^\circ = \frac{1}{2} \cos 18^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 18^\circ$

$\sin 12^\circ = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}} - \sqrt{3}(\sqrt{5} - 1)}{8}$

$\sin 6^\circ$を求めるには、半角の公式を使います。

$\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}$

$\sin 6^\circ = \sqrt{\frac{1 - \cos 12^\circ}{2}}$

$\cos(12^\circ) = \sqrt{1 - \sin^2 12^\circ} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}} - \sqrt{3}(\sqrt{5} - 1)}{8})^2}$

これは計算が大変です。

別の方法として、

$\sin 24^\circ = \sin (3 \times 8^\circ)$で、$8^\circ = \frac{24^\circ}{3}$なので、$\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$を利用します。

$\sin 24^\circ = \sin(30^\circ - 6^\circ) = \sin 30^\circ \cos 6^\circ - \cos 30^\circ \sin 6^\circ$

$\sin 24^\circ = \frac{1}{2} \cos 6^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 6^\circ$

電卓を使うと、$\sin 24^\circ \approx 0.40673664307580015$

小数第4位まで求めるので、$0.4067$

3. 最終的な答え

0.4067