以下の関数をxで微分する問題です。$a, b, c$は定数とします。 (1) $y = 6x^3 + 1$ (2) $y = x^3 - 2x^2 + 3x + 5$ (3) $y = x^3(3x^2 - 1)$ (4) $y = -2x^2 - x - 5$ (5) $y = 4^3$ (6) $y = \frac{2}{3}x^3 - 5x^2 + 10$ (7) $y = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 8x + 6$ (8) $y = -5c$ (9) $y = (a+2)x^4 - 3bx^2 + c$ (10) $y = ax^3 - 3x^2 + (2b+1)x - c$

はい、承知いたしました。次の関数の微分をxについて計算します。

1. 問題の内容

以下の関数をxで微分する問題です。$a, b, c$は定数とします。

(1) $y = 6x^3 + 1$

(2) $y = x^3 - 2x^2 + 3x + 5$

(3) $y = x^3(3x^2 - 1)$

(4) $y = -2x^2 - x - 5$

(5) $y = 4^3$

(6) $y = \frac{2}{3}x^3 - 5x^2 + 10$

(7) $y = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 8x + 6$

(8) $y = -5c$

(9) $y = (a+2)x^4 - 3bx^2 + c$

(10) $y = ax^3 - 3x^2 + (2b+1)x - c$

2. 解き方の手順

各関数について、xで微分します。微分公式は次の通りです。

* $(x^n)' = nx^{n-1}$

* 定数の微分は0

* 和・差の微分は、それぞれの項の微分の和・差

* 定数倍の微分は、定数 * 微分

(1) $y = 6x^3 + 1$

$\frac{dy}{dx} = 6 \cdot 3x^2 + 0 = 18x^2$

(2) $y = x^3 - 2x^2 + 3x + 5$

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2 \cdot 2x + 3 + 0 = 3x^2 - 4x + 3$

(3) $y = x^3(3x^2 - 1) = 3x^5 - x^3$

$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot 5x^4 - 3x^2 = 15x^4 - 3x^2$

(4) $y = -2x^2 - x - 5$

$\frac{dy}{dx} = -2 \cdot 2x - 1 - 0 = -4x - 1$

(5) $y = 4^3 = 64$ (定数)

$\frac{dy}{dx} = 0$

(6) $y = \frac{2}{3}x^3 - 5x^2 + 10$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3} \cdot 3x^2 - 5 \cdot 2x + 0 = 2x^2 - 10x$

(7) $y = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 8x + 6$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{3} \cdot 3x^2 + \frac{3}{2} \cdot 2x - 8 + 0 = -x^2 + 3x - 8$

(8) $y = -5c$ ($c$は定数なので、$y$も定数)

$\frac{dy}{dx} = 0$

(9) $y = (a+2)x^4 - 3bx^2 + c$

$\frac{dy}{dx} = (a+2) \cdot 4x^3 - 3b \cdot 2x + 0 = 4(a+2)x^3 - 6bx$

(10) $y = ax^3 - 3x^2 + (2b+1)x - c$

$\frac{dy}{dx} = a \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x + (2b+1) - 0 = 3ax^2 - 6x + 2b + 1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 18x^2$

(2) $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 4x + 3$

(3) $\frac{dy}{dx} = 15x^4 - 3x^2$

(4) $\frac{dy}{dx} = -4x - 1$

(5) $\frac{dy}{dx} = 0$

(6) $\frac{dy}{dx} = 2x^2 - 10x$

(7) $\frac{dy}{dx} = -x^2 + 3x - 8$

(8) $\frac{dy}{dx} = 0$

(9) $\frac{dy}{dx} = 4(a+2)x^3 - 6bx$

(10) $\frac{dy}{dx} = 3ax^2 - 6x + 2b + 1$