関数 $f(x) = 2x^2 - 8x + 2$ の区間 $[0, 3]$ における相対的および絶対的な極値の正確な位置を求めます。答えは $x$ の値が小さい順に並べます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x^2 - 8x + 2$ の区間 $[0, 3]$ における相対的および絶対的な極値の正確な位置を求めます。答えは $x$ の値が小さい順に並べます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x) = 2x^2 - 8x + 2$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 4x - 8$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$4x - 8 = 0$

$4x = 8$

$x = 2$

したがって、$x = 2$ は臨界点です。

次に、区間の端点 $x = 0$ と $x = 3$ と臨界点 $x = 2$ での関数 $f(x)$ の値を評価します。

$f(0) = 2(0)^2 - 8(0) + 2 = 2$

$f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 2 = 8 - 16 + 2 = -6$

$f(3) = 2(3)^2 - 8(3) + 2 = 18 - 24 + 2 = -4$

$x=0$ における関数値は $2$ です。

$x=2$ における関数値は $-6$ です。

$x=3$ における関数値は $-4$ です。

これらの値から、区間 $[0, 3]$ における絶対最小値は $x = 2$ であり、その値は $-6$ です。

また、$x = 0$ における関数値は $2$ であり、$x = 3$ における関数値は $-4$ です。したがって、絶対最大値は $x = 0$ であり、その値は $2$ です。

$x=2$ は区間内の唯一の臨界点なので、相対的な極値でもあるはずです。$f'(x)=4x-8$ なので、$x<2$ では $f'(x)<0$ であり、$x>2$ では $f'(x)>0$ である。よって、$x=2$ で関数は減少から増加に転じるため、ここは相対的な最小値となります。

3. 最終的な答え

f has an absolute maximum at (x, y) = (0, 2)

f has an absolute minimum at (x, y) = (2, -6)

f has a relative maximum at (x, y) = (3, -4)