与えられた関数について、それぞれの導関数を求める問題です。 (1) $y = \log(\cos x)$ （$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$） (2) $y = \sqrt{\sin x}$ （$0 < x < \pi$）

1. 問題の内容

与えられた関数について、それぞれの導関数を求める問題です。

(1) $y = \log(\cos x)$ （$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$）

(2) $y = \sqrt{\sin x}$ （$0 < x < \pi$）

2. 解き方の手順

(1) $y = \log(\cos x)$ の導関数を求める。

合成関数の微分公式を使う。つまり、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を使う。

$u = \cos x$ とおくと、$y = \log u$となる。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = -\sin x$

よって、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot (-\sin x) = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$

(2) $y = \sqrt{\sin x}$ の導関数を求める。

これも合成関数の微分公式を使う。$u = \sin x$ とおくと、$y = \sqrt{u} = u^{\frac{1}{2}}$となる。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

$\frac{du}{dx} = \cos x$

よって、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (\cos x) = \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$

3. 最終的な答え

(1) $-\tan x$

(2) $\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$