与えられた微分方程式の解を初期条件を満たすように求め、また、別の微分方程式の一般解を求める問題です。具体的には以下の3つの問題を解きます。 (a) $y'' - 2y' + 5y = 0$, $y(0) = 3$, $y'(0) = 7$ (b) $y'' - 6y' + 8y = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 6$ (c) $y'' + 2y' - 3y = 4$

1. 問題の内容

与えられた微分方程式の解を初期条件を満たすように求め、また、別の微分方程式の一般解を求める問題です。具体的には以下の3つの問題を解きます。

(a) $y'' - 2y' + 5y = 0$, $y(0) = 3$, $y'(0) = 7$

(b) $y'' - 6y' + 8y = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 6$

(c) $y'' + 2y' - 3y = 4$

2. 解き方の手順

(a)

まず、特性方程式を求めます。

$r^2 - 2r + 5 = 0$

特性方程式の解は $r = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = 1 \pm 2i$ となります。

したがって、一般解は $y(x) = e^x(c_1\cos(2x) + c_2\sin(2x))$ となります。

初期条件 $y(0) = 3$ を適用すると、$y(0) = e^0(c_1\cos(0) + c_2\sin(0)) = c_1 = 3$ となります。

次に、$y'(x) = e^x(c_1\cos(2x) + c_2\sin(2x)) + e^x(-2c_1\sin(2x) + 2c_2\cos(2x))$ を計算します。

初期条件 $y'(0) = 7$ を適用すると、$y'(0) = e^0(c_1\cos(0) + c_2\sin(0)) + e^0(-2c_1\sin(0) + 2c_2\cos(0)) = c_1 + 2c_2 = 7$ となります。

$c_1 = 3$ なので、$3 + 2c_2 = 7$, $2c_2 = 4$, $c_2 = 2$ となります。

したがって、解は $y(x) = e^x(3\cos(2x) + 2\sin(2x))$ となります。

(b)

まず、特性方程式を求めます。

$r^2 - 6r + 8 = 0$

特性方程式の解は $(r-2)(r-4) = 0$ より $r = 2, 4$ となります。

したがって、一般解は $y(x) = c_1e^{2x} + c_2e^{4x}$ となります。

初期条件 $y(0) = 1$ を適用すると、$y(0) = c_1e^{0} + c_2e^{0} = c_1 + c_2 = 1$ となります。

次に、$y'(x) = 2c_1e^{2x} + 4c_2e^{4x}$ を計算します。

初期条件 $y'(0) = 6$ を適用すると、$y'(0) = 2c_1e^{0} + 4c_2e^{0} = 2c_1 + 4c_2 = 6$ となります。

$c_1 + c_2 = 1$ と $2c_1 + 4c_2 = 6$ を連立して解くと、

$2c_1 + 2c_2 = 2$, $2c_1 + 4c_2 = 6$ より $2c_2 = 4$, $c_2 = 2$ となります。

$c_1 + 2 = 1$ より $c_1 = -1$ となります。

したがって、解は $y(x) = -e^{2x} + 2e^{4x}$ となります。

(c)

まず、同次方程式 $y'' + 2y' - 3y = 0$ の特性方程式を求めます。

$r^2 + 2r - 3 = 0$

特性方程式の解は $(r+3)(r-1) = 0$ より $r = -3, 1$ となります。

したがって、同次方程式の一般解は $y_h(x) = c_1e^{-3x} + c_2e^{x}$ となります。

次に、特殊解を求めます。定数項4があるので、$y_p(x) = A$ と仮定します。

$y_p'(x) = 0$, $y_p''(x) = 0$ なので、元の微分方程式に代入すると、$0 + 0 - 3A = 4$, $A = -\frac{4}{3}$ となります。

したがって、特殊解は $y_p(x) = -\frac{4}{3}$ となります。

一般解は $y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c_1e^{-3x} + c_2e^{x} - \frac{4}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

(a) $y(x) = e^x(3\cos(2x) + 2\sin(2x))$

(b) $y(x) = -e^{2x} + 2e^{4x}$

(c) $y(x) = c_1e^{-3x} + c_2e^{x} - \frac{4}{3}$