関数 $f(x) = x^3 + 2x^2 - 4x + 3$ の $-3 \leq x \leq 2$ における最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + 2x^2 - 4x + 3$ の $-3 \leq x \leq 2$ における最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 + 4x - 4$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。これは $f(x)$ の極値を与える $x$ の候補です。

$3x^2 + 4x - 4 = 0$

$(3x - 2)(x + 2) = 0$

$x = \frac{2}{3}, -2$

次に、与えられた範囲 $-3 \leq x \leq 2$ における $f(x)$ の値を計算します。極値を与える $x = \frac{2}{3}, -2$ と、区間の端点 $x = -3, 2$ での $f(x)$ の値を計算します。

$f(-3) = (-3)^3 + 2(-3)^2 - 4(-3) + 3 = -27 + 18 + 12 + 3 = 6$

$f(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 - 4(-2) + 3 = -8 + 8 + 8 + 3 = 11$

$f(\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^3 + 2(\frac{2}{3})^2 - 4(\frac{2}{3}) + 3 = \frac{8}{27} + \frac{8}{9} - \frac{8}{3} + 3 = \frac{8 + 24 - 72 + 81}{27} = \frac{41}{27}$

$f(2) = (2)^3 + 2(2)^2 - 4(2) + 3 = 8 + 8 - 8 + 3 = 11$

これらの値から、最大値と最小値を決定します。

$f(-3) = 6$

$f(-2) = 11$

$f(\frac{2}{3}) = \frac{41}{27} \approx 1.5185$

$f(2) = 11$

3. 最終的な答え

最大値は $11$ ($x = -2, 2$ のとき)

最小値は $\frac{41}{27}$ ($x = \frac{2}{3}$ のとき)