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関数 $g(x) = \ln(|x^2 + 71|)$ の導関数 $g'(x)$ を求めよ。

解析学導関数対数関数合成関数の微分微分
2025/6/17

1. 問題の内容

関数 g(x)=ln⁡(∣x2+71∣)g(x) = \ln(|x^2 + 71|) の導関数 g′(x)g'(x) を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分法（チェーンルール）を適用します。
g(x)=ln⁡(f(x))g(x) = \ln(f(x)) の導関数は g′(x)=f′(x)f(x)g'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} です。
この問題では、f(x)=∣x2+71∣f(x) = |x^2 + 71| です。
x2+71x^2 + 71 は常に正なので、∣x2+71∣=x2+71|x^2 + 71| = x^2 + 71 です。
したがって、f(x)=x2+71f(x) = x^2 + 71 となり、f′(x)=2xf'(x) = 2x です。
よって、
g′(x)=f′(x)f(x)=2xx2+71g'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{2x}{x^2 + 71}

3. 最終的な答え

2xx2+71\frac{2x}{x^2+71}

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