$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ $x^2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6)$

## 2 (1) 問題の内容

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x - 12}$ を計算する。

## 2 解き方の手順

1. 分子と分母を因数分解します。

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

$x^2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6)$

2. 式を簡略化します。

$\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x - 12} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 6)} = \frac{x + 2}{x + 6}$

3. $x$ を 2 に近づけたときの極限を求めます。

$\lim_{x \to 2} \frac{x + 2}{x + 6} = \frac{2 + 2}{2 + 6} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

## 3 最終的な答え

$\frac{1}{2}$

## 2 (2) 問題の内容

$\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 1}{x^2 - x - 2}$ を計算する。

## 2 解き方の手順

1. 分子と分母を因数分解します。

$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$

$x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2)$

2. 式を簡略化します。

$\frac{x^3 + 1}{x^2 - x - 2} = \frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{x^2 - x + 1}{x - 2}$

3. $x$ を -1 に近づけたときの極限を求めます。

$\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - x + 1}{x - 2} = \frac{(-1)^2 - (-1) + 1}{-1 - 2} = \frac{1 + 1 + 1}{-3} = \frac{3}{-3} = -1$

## 3 最終的な答え

$-1$

## 2 (3) 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} (\frac{1}{x - 1} + 1)$ を計算する。

## 2 解き方の手順

1. 式を簡略化します。

$\frac{1}{x} (\frac{1}{x - 1} + 1) = \frac{1}{x} (\frac{1 + x - 1}{x - 1}) = \frac{1}{x} (\frac{x}{x - 1}) = \frac{1}{x - 1}$

2. $x$ を 0 に近づけたときの極限を求めます。

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x - 1} = \frac{1}{0 - 1} = \frac{1}{-1} = -1$

## 3 最終的な答え

$-1$

## 2 (4) 問題の内容

$\lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} (1 - \frac{2}{x + 1})$ を計算する。

## 2 解き方の手順

1. 式を簡略化します。

$\frac{1}{x - 1} (1 - \frac{2}{x + 1}) = \frac{1}{x - 1} (\frac{x + 1 - 2}{x + 1}) = \frac{1}{x - 1} (\frac{x - 1}{x + 1}) = \frac{1}{x + 1}$

2. $x$ を 1 に近づけたときの極限を求めます。

$\lim_{x \to 1} \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

## 3 最終的な答え

$\frac{1}{2}$

## 3 (1) 問題の内容

$\lim_{x \to 1} \frac{x + 1}{(x - 1)^2}$ を計算する。

## 2 解き方の手順

1. $x$ を 1 に近づけたとき、分子は 2 に近づき、分母は 0 に近づきます。

2. 分母は常に正であるため、$x$ が 1 に近づくにつれて $\frac{x + 1}{(x - 1)^2}$ は正の無限大に発散します。

## 3 最終的な答え

$\infty$

## 3 (2) 問題の内容

$\lim_{x \to 2 - 0} \frac{1}{x - 2}$ を計算する。

## 2 解き方の手順

1. $x$ が 2 に左側から近づくと、$x - 2$ は負の数であり、0 に近づきます。

2. そのため、$\frac{1}{x - 2}$ は負の無限大に発散します。

## 3 最終的な答え

$-\infty$

## 3 (3) 問題の内容

$\lim_{x \to 2 + 0} \frac{1}{x - 2}$ を計算する。

## 2 解き方の手順

1. $x$ が 2 に右側から近づくと、$x - 2$ は正の数であり、0 に近づきます。

2. そのため、$\frac{1}{x - 2}$ は正の無限大に発散します。

## 3 最終的な答え

$\infty$

## 4 (1) 問題の内容

$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{x - 3}$ を計算する。

## 2 解き方の手順

1. 分母と分子に $\sqrt{x + 1} + 2$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{x + 1} - 2}{x - 3} = \frac{(\sqrt{x + 1} - 2)(\sqrt{x + 1} + 2)}{(x - 3)(\sqrt{x + 1} + 2)} = \frac{x + 1 - 4}{(x - 3)(\sqrt{x + 1} + 2)} = \frac{x - 3}{(x - 3)(\sqrt{x + 1} + 2)}$

2. 式を簡略化します。

$\frac{x - 3}{(x - 3)(\sqrt{x + 1} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x + 1} + 2}$

3. $x$ を 3 に近づけたときの極限を求めます。

$\lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt{x + 1} + 2} = \frac{1}{\sqrt{3 + 1} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$

## 3 最終的な答え

$\frac{1}{4}$

## 4 (2) 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x}$ を計算する。

## 2 解き方の手順

1. 分母と分子に $\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x} = \frac{(\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x})(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x})}{x(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x})} = \frac{1 + x - (1 - x)}{x(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x})} = \frac{2x}{x(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x})}$

2. 式を簡略化します。

$\frac{2x}{x(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x})} = \frac{2}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}}$

3. $x$ を 0 に近づけたときの極限を求めます。

$\lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}} = \frac{2}{\sqrt{1 + 0} + \sqrt{1 - 0}} = \frac{2}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \frac{2}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1$

## 3 最終的な答え

$1$

## 4 (3) 問題の内容

$\lim_{x \to 1} \frac{x - \sqrt{4x - 3}}{x - 1}$ を計算する。

## 2 解き方の手順

1. 分母と分子に $x + \sqrt{4x - 3}$ を掛けます。

$\frac{x - \sqrt{4x - 3}}{x - 1} = \frac{(x - \sqrt{4x - 3})(x + \sqrt{4x - 3})}{(x - 1)(x + \sqrt{4x - 3})} = \frac{x^2 - (4x - 3)}{(x - 1)(x + \sqrt{4x - 3})} = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 1)(x + \sqrt{4x - 3})}$

2. 分子を因数分解します。

$x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$

3. 式を簡略化します。

$\frac{(x - 1)(x - 3)}{(x - 1)(x + \sqrt{4x - 3})} = \frac{x - 3}{x + \sqrt{4x - 3}}$

4. $x$ を 1 に近づけたときの極限を求めます。

$\lim_{x \to 1} \frac{x - 3}{x + \sqrt{4x - 3}} = \frac{1 - 3}{1 + \sqrt{4(1) - 3}} = \frac{-2}{1 + \sqrt{1}} = \frac{-2}{1 + 1} = \frac{-2}{2} = -1$

## 3 最終的な答え

$-1$

## 4 (4) 問題の内容

$\lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{\sqrt{x + 7} - 3}$ を計算する。

## 2 解き方の手順

1. 分母と分子に $\sqrt{x + 7} + 3$ を掛けます。

$\frac{x - 2}{\sqrt{x + 7} - 3} = \frac{(x - 2)(\sqrt{x + 7} + 3)}{(\sqrt{x + 7} - 3)(\sqrt{x + 7} + 3)} = \frac{(x - 2)(\sqrt{x + 7} + 3)}{x + 7 - 9} = \frac{(x - 2)(\sqrt{x + 7} + 3)}{x - 2}$

2. 式を簡略化します。

$\frac{(x - 2)(\sqrt{x + 7} + 3)}{x - 2} = \sqrt{x + 7} + 3$

3. $x$ を 2 に近づけたときの極限を求めます。

$\lim_{x \to 2} \sqrt{x + 7} + 3 = \sqrt{2 + 7} + 3 = \sqrt{9} + 3 = 3 + 3 = 6$

## 3 最終的な答え

$6$