関数 $g(x) = 4x^3 - 12x + 6$ の定義域 $[-2, 2]$ における相対極値と絶対極値を全て求める問題です。答えはx座標が小さい順に記述する必要があります。

1. 問題の内容

関数 $g(x) = 4x^3 - 12x + 6$ の定義域 $[-2, 2]$ における相対極値と絶対極値を全て求める問題です。答えはx座標が小さい順に記述する必要があります。

2. 解き方の手順

1. 微分を計算する：

まず、$g(x)$ の導関数 $g'(x)$ を計算します。

$g'(x) = 12x^2 - 12$

2. 臨界点を求める：

$g'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$12x^2 - 12 = 0$

$12(x^2 - 1) = 0$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

3. 境界点の値を求める：

定義域の端点である $x = -2$ と $x = 2$ での $g(x)$ の値を求めます。

4. 各点の値を計算する：

$x = -2, -1, 1, 2$ における $g(x)$ の値を計算します。

$g(-2) = 4(-2)^3 - 12(-2) + 6 = 4(-8) + 24 + 6 = -32 + 24 + 6 = -2$

$g(-1) = 4(-1)^3 - 12(-1) + 6 = -4 + 12 + 6 = 14$

$g(1) = 4(1)^3 - 12(1) + 6 = 4 - 12 + 6 = -2$

$g(2) = 4(2)^3 - 12(2) + 6 = 4(8) - 24 + 6 = 32 - 24 + 6 = 14$

5. 極値の種類を判定する：

* $x = -2$ のとき、$g(-2) = -2$。

* $x = -1$ のとき、$g(-1) = 14$。$x = -2$から$x = -1$にかけて増加するので、相対極大値（または絶対最大値）の可能性があります。

* $x = 1$ のとき、$g(1) = -2$。$x = -1$から$x = 1$にかけて減少するので、相対極小値（または絶対最小値）の可能性があります。

* $x = 2$ のとき、$g(2) = 14$。

6. 相対極値と絶対極値を特定する：

$g(-2) = -2$, $g(1) = -2$ より、$x=1$と$x=-2$で極小値-2を取ります。この値が最小値なので、$x=-2$と$x=1$で絶対最小値になります。

$g(-1) = 14$, $g(2) = 14$ より、$x=-1$と$x=2$で極大値14を取ります。この値が最大値なので、$x=-1$と$x=2$で絶対最大値になります。

3. 最終的な答え

* $g$ has an absolute minimum at $(x, y) = (-2, -2)$.

* $g$ has a relative maximum at $(x, y) = (-1, 14)$.

* $g$ has a relative minimum at $(x, y) = (1, -2)$.

* $g$ has an absolute maximum at $(x, y) = (2, 14)$.