$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の不等式を解く問題です。 (1) $\cos \theta \le \frac{1}{2}$ (2) $\sin \theta > \frac{1}{\sqrt{2}}$ (3) $\sin \theta < \frac{1}{2}$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の不等式を解く問題です。

(1) $\cos \theta \le \frac{1}{2}$

(2) $\sin \theta > \frac{1}{\sqrt{2}}$

(3) $\sin \theta < \frac{1}{2}$

2. 解き方の手順

(1) $\cos \theta \le \frac{1}{2}$

$\cos \theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{3}$ および $\theta = \frac{5\pi}{3}$ です。

$\cos \theta$ は $x$ 座標に対応するので、単位円で $x$ 座標が $\frac{1}{2}$ 以下となる範囲を考えます。

したがって、$\frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{5\pi}{3}$ となります。

(2) $\sin \theta > \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{4}$ および $\theta = \frac{3\pi}{4}$ です。

$\sin \theta$ は $y$ 座標に対応するので、単位円で $y$ 座標が $\frac{1}{\sqrt{2}}$ より大きくなる範囲を考えます。

したがって、$\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{3\pi}{4}$ となります。

(3) $\sin \theta < \frac{1}{2}$

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{6}$ および $\theta = \frac{5\pi}{6}$ です。

$\sin \theta$ は $y$ 座標に対応するので、単位円で $y$ 座標が $\frac{1}{2}$ より小さくなる範囲を考えます。

$0 \le \theta < 2\pi$ であることに注意すると、

$0 \le \theta < \frac{\pi}{6}$ および $\frac{5\pi}{6} < \theta < 2\pi$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{5\pi}{3}$

(2) $\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{3\pi}{4}$

(3) $0 \le \theta < \frac{\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6} < \theta < 2\pi$