関数 $h(x) = \ln[(-2x+1)(x+1)]$ の導関数 $h'(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $h(x) = \ln[(-2x+1)(x+1)]$ の導関数 $h'(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

対数の性質を利用して、関数をより扱いやすい形に変形します。

$h(x) = \ln[(-2x+1)(x+1)] = \ln(-2x+1) + \ln(x+1)$

次に、導関数を計算します。合成関数の微分（チェインルール）を使います。

$\frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \frac{du}{dx}$

よって、

$\frac{d}{dx} \ln(-2x+1) = \frac{1}{-2x+1} \cdot (-2) = \frac{-2}{-2x+1}$

$\frac{d}{dx} \ln(x+1) = \frac{1}{x+1} \cdot (1) = \frac{1}{x+1}$

したがって、

$h'(x) = \frac{-2}{-2x+1} + \frac{1}{x+1} = \frac{2}{2x-1} + \frac{1}{x+1}$

通分して整理します。

$h'(x) = \frac{2(x+1) + (2x-1)}{(2x-1)(x+1)} = \frac{2x+2+2x-1}{(2x-1)(x+1)} = \frac{4x+1}{(2x-1)(x+1)}$

$h'(x) = \frac{4x+1}{2x^2 + 2x - x - 1} = \frac{4x+1}{2x^2+x-1}$

3. 最終的な答え

$h'(x) = \frac{4x+1}{2x^2+x-1}$