曲線 $y = x^2 + 2x - 3$ と直線 $y = x + 3$ で囲まれた図形の面積を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2 + 2x - 3$ と直線 $y = x + 3$ で囲まれた図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 曲線と直線の交点の $x$ 座標を求める。

$x^2 + 2x - 3 = x + 3$ を解く。

$x^2 + x - 6 = 0$

$(x + 3)(x - 2) = 0$

したがって、$x = -3, 2$

交点の $x$ 座標は $-3$ と $2$ である。

(2) 定積分を用いて面積を計算する。

囲まれた図形の面積 $S$ は、

$S = \int_{-3}^{2} (x + 3 - (x^2 + 2x - 3)) dx = \int_{-3}^{2} (-x^2 - x + 6) dx$

$= \left[ -\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 6x \right]_{-3}^{2}$

$= \left(-\frac{1}{3}(2)^3 - \frac{1}{2}(2)^2 + 6(2) \right) - \left(-\frac{1}{3}(-3)^3 - \frac{1}{2}(-3)^2 + 6(-3) \right)$

$= \left(-\frac{8}{3} - 2 + 12 \right) - \left(-\frac{1}{3}(-27) - \frac{9}{2} - 18 \right)$

$= \left(-\frac{8}{3} + 10 \right) - \left(9 - \frac{9}{2} - 18 \right)$

$= \left(\frac{-8 + 30}{3} \right) - \left(-9 - \frac{9}{2} \right)$

$= \frac{22}{3} - \left(\frac{-18 - 9}{2} \right)$

$= \frac{22}{3} + \frac{27}{2} = \frac{44 + 81}{6} = \frac{125}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{125}{6}$