問題は、不等式 $x \geq 2a-3$ (不等式①) と $|x+a-2| < 6$ (不等式②) が与えられたとき、以下の問いに答えるものです。 (1) 不等式②の解を $a$ を用いて表す。 (2) $A = \{x | x \geq 2a-3 \}$、 $B = \{x | |x+a-2| < 6 \}$ とするとき、不等式②の解と、連立不等式①、②の解が一致するとき、 $A$ と $B$ の関係を記述する。 (3) 連立不等式①、②の解が一致するような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

問題は、不等式 $x \geq 2a-3$ (不等式①) と $|x+a-2| < 6$ (不等式②) が与えられたとき、以下の問いに答えるものです。

(1) 不等式②の解を $a$ を用いて表す。

(2) $A = \{x | x \geq 2a-3 \}$、 $B = \{x | |x+a-2| < 6 \}$ とするとき、不等式②の解と、連立不等式①、②の解が一致するとき、 $A$ と $B$ の関係を記述する。

(3) 連立不等式①、②の解が一致するような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式②: $|x+a-2| < 6$ を解きます。絶対値の性質より、

$-6 < x+a-2 < 6$

$-6-a+2 < x < 6-a+2$

$-a-4 < x < -a+8$

したがって、シ $= 4$、 ス $= <$、 セ $=-a+8$、ソ $=8$

(2) 不等式②の解と連立不等式①、②の解が一致するということは、$A \subset B$ であることを意味します。これは、$A \cap B = A$と同じ意味です。したがって、タは1です。$A \subset B$なので、チは4です。

(3) $A \subset B$ となるためには、$2a-3$ が $B$ の範囲内、つまり$-a-4 < 2a-3 < -a+8$ を満たす必要があります。

まず、$2a-3 > -a-4$ より $3a > -1$ なので、$a > -\frac{1}{3}$。

次に、$2a-3 < -a+8$ より $3a < 11$ なので、$a < \frac{11}{3}$。

したがって、$-\frac{1}{3} < a < \frac{11}{3}$。

不等式②の解と連立不等式①, ②の解が一致するとき、$A \subset B$である必要があります。

$A \subset B$は、$2a-3 > -a-4$ と $2a-3 < -a+8$ を満たす必要があります。

1つ目の不等式より、$3a > -1$なので、$a > -\frac{1}{3}$

2つ目の不等式より、$3a < 11$なので、$a < \frac{11}{3}$

したがって、 $-\frac{1}{3} < a < \frac{11}{3}$。

したがって、ツは0、テトは11、ナは3です。

3. 最終的な答え

ス: 1

セ: -a+8

チ: 4

タ: 1

ツ: 0

シ: 4

ソ: 8

テト: 11

ナ: 3