$\alpha$が第4象限にあり、$\cos \alpha = \frac{12}{13}$ のとき、$\sin 2\alpha$ と $\cos 2\alpha$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

$\alpha$が第4象限にあり、$\cos \alpha = \frac{12}{13}$ のとき、$\sin 2\alpha$ と $\cos 2\alpha$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、$\sin \alpha$ の値を求めます。$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ なので、

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}$.

$\alpha$ は第4象限にあるので、$\sin \alpha < 0$ です。したがって、

$\sin \alpha = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$.

次に、$\sin 2\alpha$ の値を求めます。$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ なので、

$\sin 2\alpha = 2 (-\frac{5}{13}) (\frac{12}{13}) = -\frac{120}{169}$.

最後に、$\cos 2\alpha$ の値を求めます。$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$ なので、

$\cos 2\alpha = (\frac{12}{13})^2 - (-\frac{5}{13})^2 = \frac{144}{169} - \frac{25}{169} = \frac{144 - 25}{169} = \frac{119}{169}$.

3. 最終的な答え

$\sin 2\alpha = -\frac{120}{169}$

$\cos 2\alpha = \frac{119}{169}$